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Beginn 2 November B

2.8.5 Kosmologie

Kollaps eines Sterns:

Wenn Kernbrennstoff leer ist.

$\Rightarrow$ Stern kollabiert wegen Gravitationskraft.

z.B. unsere Sonne:

https://de.wikipedia.org/wiki/Roter_Riese:

Rote Riesen sind „alternde“ Sterne von der Größenordnung einer Sonnenmasse
im Kern das Fusion von 4 Protonen zu 1 Heliumkern mangels Nachschub erloschen
=> Gravitation die dominiert=>Kontraktion => Druck, Dichte und Temperatur reichen aus um im Zentrum Helium zu Kohlenstoff zu fusionieren.
Die Fusion von Wasserstoff zu Helium außerhalb des heißen Kerns ( Schalenbrennen )
=> Sterne dehnen sich auf etwa das Hundertfache ihrer ursprünglichen Größe aus, bis sich wieder ein Gleichgewichtszustand zwischen nach außen gerichtetem Strahlungs- und nach innen gerichtetem Schweredruck einstellt.
Aufgrund ihrer nun weitaus größeren Oberfläche sinkt dort die Temperatur und die Sterne erscheinen zumeist rötlich leuchtend

Roter Riese wird

weißer Zwerg

Wegen Ausdehnung: Äußeren Gasschichten => geringe Dichte, nur schwach durch die Gravitation des Sterns gebunden.
Starker Sternwind entsteht, durch den die äußeren Gasschichten vollständig abgestoßen werden
bei Massen von weniger als acht Sonnenmassen schrumpft zu Weißen Zwergen. Bei mehr als acht Sonnenmassen setzen am Ende des Heliumbrennens weitere Fusionsprozesse ein, bis der Rote Riese als Supernova explodiert.

$m < 8 \times m_\text{Sonne}$ $r \approx r_\text{Erde}$
$m > 8 \times m_\text{Sonne}$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\rho = 10^{13}\cdot \rho_\text{Blei}, \ r =$ wenige km.
$m>>m_\text{Sonne}$ : Schwarzes Loch

Schwarzes Loch:

$r<r_S= \frac{2 G M}{c^2}$ $G=6,67408 \cdot 10^{-11} \ \mathrm{\frac{m^3}{kg \ s^2}}$ $r_S$ : Schwarzschildradius

ist vom Universum getrennt.

$r>r_S$ : nur Anziehung.

$r < r_S \Rightarrow$ für immer getrennt. Außenwelt abgekoppelt, nicht einmal Licht kann entkommen.

Alter des Universums:

$\Rightarrow$ Expanison

Am weitesten entfernte Sterne sind am schnellsten (beobachtete starke Dopplerrotverschiebung).

Diese waren zum Zeitpunkt des Urknalls am schnellsten.

Hubble'sches Gesetz:

v=H_0 \cdot r

$H_0 \approx 74,3 \pm 2,1 \ \mathrm{\frac{km}{s \ Mpc}}$

$\mathrm{pc} = 3,26 \ \mathrm{ly} = 3,09 \cdot 10^{16} \ \mathrm m$

Alter des Universums ergibt sich konstanter Geschwindigkeit:

r = \frac{v}{H_0} = v \cdot t_0

t_0 = \frac{1}{H_0} \approx 13,1 \cdot 10^9 \ \mathrm{Jahre}

2.9 Kausalitätsprinzip

$t=0, t'=0$ $x_1=0$ $A_1$ $B_1$ auf gleicher Höhe.

$u_0$ : Geschwindigkeit von Informationsfluss.

Schritte:

$B_1$ $t'=0$ (Ereignis 1)
$B_1$ $B_2$ $u_0$ $t_2=\frac{x_2}{u_0}$ ( Ereignis 2)
$B_2$ $A_2$ $\Rightarrow$ $B_2$ $A_2$ $u_0>v$ sein.
$A_2$ $A_1$ $u_0$

x_2' = \gamma_v (x_2 - v t_2) \\ = \gamma_v \left( x_2 - \frac{v x_2}{u_0} \right)= \gamma_v \left( 1- \frac{v}{u_0} \right) x_2

t_2' = \gamma_v \left( -\frac{v}{c^2} x_2 + t_2 \right) = \gamma_v \left( - \frac{v}{c^2} + \frac{1}{u_0} \right) x_2

$A_1$ bekommt Information (Ereignis 3):

t_3' = t_2' + \frac{x_2'}{u_0} \\ \Rightarrow t_3' = \left[ \gamma_v \left( - \frac{v}{c^2} + \frac{1}{u_0} \right) x_2 \right] + \frac{1}{u_0} \left[ \gamma_v \left( 1- \frac{v}{u_0} \right) x_2 \right] \\ = \gamma_v x_2 \frac{2}{u_0} \left[ 1-\frac{v}{c} \left( \frac{u_0}{2 c} + \frac{c}{2 u_0} \right) \right]

$t_3'>0$

$u_0<c \Rightarrow$

\left[1- \frac{v}{c} \left( \frac{u_0}{2c} + \frac{c}{2 u_0} \right) \right]>0 \\ 1> \frac{v}{c} \underbrace{\left( \frac{u_0}{2c} + \frac{c}{2 u_0} \right)}_{\frac{u_0^2 +c^2}{2c u_0}}

2 c^2 u_0 > v (u_0^2 + c^2) \\ A = \frac{2 c^2 u_0}{u_0^2 + c^2}>v\\ A>u_0 > v \;\checkmark

$u_0 = c$ :

\frac{2 c^3}{2 c^2} = c > v \;\checkmark

$u_0>c$ :

\Rightarrow A < c \Rightarrow \exist v \;\textrm{mit}\; A<v < c

$t_3'$ negativ.

$v$ $t'_3$ $u_0 \le c$ sein.

Lichtkegel

gibt an was Kausal zusammenhängt.

2.10 Vierervektoren

ist wichtig für Verständnis von Zusatzliteratur zur Thomasrotation (Drehung im Raum bei relativistischer Beschleunigung) (https://arxiv.org/pdf/hep-ph/0102244.pdf)

x' = \gamma_v \left(x-v \cdot t \right) = \gamma_v \left(x - \frac{v}{c} \cdot c \cdot t \right) \\ y' = y \\ z' = z \\ t' = \gamma_v \left( t - \frac{v}{c^2} \cdot x \right) \quad \bigg| \cdot c \\ c t' = \gamma_v \left( ct - \frac{v}{c} \cdot x \right)

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ c t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_v & 0 & 0 & - \gamma_v \frac{v}{c} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \gamma_v \frac{v}{c} & 0 & 0 & \gamma_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ c t \end{pmatrix}

Für beliebige Vierervektoren gilt:

A_{x'} = \gamma_v \left(A_{x} - \frac{v}{c} A_{t} \right) \\ A_{y'} = A_{y} \\ A_{z'} = A_{z} \\ A_{t'} = \gamma_v \left( A_{t} - \frac{v}{c} A_{x} \right)

Invariante:

A_{t}'^2 - ( A_x'^2 + A_y'^2 + A_z'^2) = A_t^2 - (A_x^2 + A_y^2 + A_z^2)

$\Rightarrow$ wähle als S' ein System am Ursprung für A=(x,y,z,ct):

\Rightarrow A_t^2 - \underbrace{\vec A \cdot \vec A}_\text{3er Vektor} = \underbrace{c^2 t^2}_\text{Eigenzeit} - 0

Impuls-Energie Vierervektor:

A = \left( p_x, p_y, p_z, \frac{E}{c} \right)

Invariante:

A_t^2 - \vec A \cdot \vec A = \left( \frac{E}{c} \right)^2 - p^2 = A_t'^2 - \vec A' \cdot \vec A'

$\vec p = 0$ :

A_t^2 - \vec A \cdot \vec A = \left( \frac{E_0}{c} \right)^2 = \left(\frac{m_0 c^2}{c} \right)^2 = \underbrace{m_0^2}_\text{Ruhemasse} c^2

Ende 2 November B