exp3script08

Energie Impuls Relationen

$m_E$ $E = m_E c^2$

$E = c p$

$\Rightarrow m_E = \frac{p}{c}$

$p = m \cdot v \qquad (1)$

$E = m \cdot c^2 \qquad (2)$ universell auch für andere Teilchen

$\Rightarrow (1)$ $(2): \ \ E = \frac{p c^2}{v} \qquad (3)$

$\Rightarrow$ Zuwachs an Energie

\mathrm d E = F \mathrm d x = \frac{\mathrm dp}{\mathrm dt} \mathrm dx = \mathrm dp \cdot \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \\ \mathrm d E = v \mathrm dp \qquad (4)

$(3)\cdot (4):$

E \mathrm d E = c^2 p \mathrm d p \qquad \Bigg| \int \\ E^2 = c^2 p^2 + \underbrace{E_0^2}_\mathrm{Int. \ Konstante} \qquad (5)

$(3) \Rightarrow$

cp = \frac{E v }{c} \\ \Rightarrow E^2= E^2 \frac{v^2}{c^2} + E_0^2

E^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) = E_0^2 \\ E(v) = \frac{E_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ E(v) = \gamma_v \cdot E_0

$(1-x)^{-\alpha} = 1 + \alpha x + \dots$

E(v) \approx E_0 + \frac{1}{2} \frac{E_0}{c^2} v^2

damit dies mit klassischer Mechanik übereinstimmt, muss gelten:

E_0 = m_0 \cdot c^2

E(v) = \gamma_v \cdot m_0 \cdot c^2

$m_0$ $E_0$ der Ruheenergie.

Relativistische kinetische Energie:

E_{kin} = E(v)-E_0 = m_0 c^2 \left( \frac{1}{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1 \right)

Relativistischer Impuls

$(3): E = \frac{p c^2}{v}$

\Rightarrow E(v) = \frac{p(v) c^2}{v} \\ p(v) = \frac{E(v) v}{c^2} = \gamma_v \cdot m_0 v

Energie-Impuls Invariante:

mit (5):

$E^2 = (cp)^2 + E_0^2$

$E'^2 = (cp')^2 + E_0^2$

\Rightarrow E^2 - (cp)^2 = E'^2 - (cp')^2 = E_0^2

gilt auch für Kollektive von Teilchen.

$E = c p$ $E_0 = 0$ . Das heißt das Photon besitzt keine Ruhemasse.

Die gesamte Energie des Photons ist kinetische Energie.

Ende October 30A

Beginn October 30B

Beispiel: Kernspaltung

$m_{Be} = 8,003111 \ u$ $u = 1,66 \cdot 10^{-27} \ \mathrm{kg}$ wird gespalten in

$m_{He} = 4,001506 \ u$

Gesucht: Energie der Fragmente.

1. Möglichkeit: Energiebilanz vorher=relativistisch korrigierte Energie der Fragmente

m_{Be} \cdot c^2 = 2 \gamma_{u_{He}} m_{He} \cdot c^2 \\ \Rightarrow \gamma_{u_{He}} = \frac{m_{Be}}{2 m_{He}} = 1,000012

$\gamma_{u_{He}}$ $\frac{u_{He}}{c}$ auflösen:

\frac{u_{He}}{c} = \sqrt{1-\left( \frac{1}{\gamma_{u_{He}}} \right)^2} \\ \Rightarrow u_{He} = 0,005 \ c

2. Möglichkeit

Kinetische Energie

E_{kin} = \Delta m c^2 \\ = (8,00311 \ u - 2 \cdot 4,001506 \ u) \left(1,66 \cdot 10^{-27} \mathrm{\frac{kg}{u}}\right) \cdot c^2 \\ = 1,5 \cdot 10^{-14} \ \mathrm J = 92 \ \mathrm{keV}

$e = 1,60218 \cdot 10^{-19} \ \mathrm C$

Proton/Antiprotonerzeugung

Beispiel: Anwendung Energie-Impuls Invariante bei Proton/Antiprotonerzeugung durch Beschleunigung eines Protons auf ruhendes Proton

Energie-Impuls Invariante

$E^2 - (cp)^2 = E'^2 - (cp')^2 = E_0^2$

Nach Kollision: 3 Protonen, 1 Antiproton im Schwerpunktsystem vorher sind alle in Ruhe

Gesucht: $v^2$

in S': Gesamtimpuls bleibt 0 vor- und nachher.

Energie:

E' = \underbrace{2 \gamma_{v'} m_0 c^2}_\text{vorher} = \underbrace{4 m_0 c^2}_\text{nachher} \qquad (1)

in S:

E = \gamma_{v1} m_0 c^2 + m_0 c^2 \\ p = p_1

Energie-Impuls invariante für Gesamtsystem

\underbrace{(\gamma_{v1} m_0 c^2 + m_0 c^2)^2 - (c p_1)^2}_\text{vorher in S} = \underbrace{(2 \gamma_{v'} m_0 c^2)^2}_\text{vorher in S'} \stackrel{(1)}{=} \underbrace{(4 m_0 c^2)^2}_\text{nachher in S'} \qquad (2)

Invariante in S für bewegtes Proton:

(\gamma_{v1} m_0 c^2)^2 - (c p_1)^2 = (m_0 c^2)^2 \qquad (3)

$c p_1$ $(3)$ $(2)$ :

\Rightarrow (\underbrace{\gamma_{v1} m_0 c^2}_{E_1} + m_0 c^2)^2 - (\gamma_{v1} m_0 c^2)^2 + (m_0 c^2)^2 = (4 m_0 c^2)^2

E_1^2 + 2 E_1 m_0 c^2 + m_0^2 c^4 - E_1^2 + m_0^2 c^4 = 16 m_0^2 c^4 \\ \Rightarrow E_1 = 7 m_0 c^2 \Rightarrow \gamma_{v1} m_0 c^2 = 7 m_0 c^2

\gamma_{v1} = 7 \\ \frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}\\ \Rightarrow \frac{v}{c} = 0,9897

Lorentztransformation für Energie und Impuls:

Wiederholung:

u_x' = \frac{u_x-v}{1-\frac{u_x v}{c^2}} \qquad (1)

u_y' = \frac{u_y}{\gamma_v (1- \frac{u_x v}{c^2})} \qquad (2)

\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

In S:

E = \gamma(u) m_0 c^2 \\ p_x = \gamma(u) m_0 u_x \\ p_y = \gamma(u) m_0 u_y \\ p_z = \gamma(u) m_0 u_z \\ \gamma(u) = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{u^2}{c^2}}}

$v$ zu S:

E' = \gamma(u') m_0 c^2 \\ p_x' = \gamma(u') m_0 u_x' \\ p_y' = \gamma(u') m_0 u_y' \\ p_z' = \gamma(u') m_0 u_z' \\ \gamma(u') = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{u'^2}{c^2}}}

Ziel: $\gamma(u')$ $u, v$ ) ausdrücken

Herleitung: in Übungsaufgabe

Ergebnis:

\gamma(u') = \gamma(v) \cdot \gamma(u) \cdot \left( 1 - \frac{v u_x}{c^2} \right)

$\Rightarrow$ Lorentztransformation für Energie & Impuls

p_x' = \gamma \left(p_x - \frac{vE}{c^2} \right) \\ p_y' = p_y \\ p_z' = p_z \\ E' = \gamma (E-v p_x) \\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Rücktransformation:

p_x = \gamma \left(p_x' + \frac{vE}{c^2} \right) \\ p_y = p_y' \\ p_z = p_z' \\ E = \gamma (E'+v p_x') \\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

$v$ ist in S gemessene Geschwindigkeit von S'

Ende October 30B