exp3script07

Beginn 30 October A

$v$ $x$ Richtung.

klassisch:

u_x' = u_x-v \,\,\unicode{x21af}

Lorentztransformation:

x' = \gamma_v (x-vt) \\ t' = \gamma_v \left(- \frac{v}{c^2} x + t \right)

Herleitung:

u_x' = \frac{\mathrm dx'}{\mathrm dt'}

u_x' = \frac{\gamma_v (\mathrm d x -v \mathrm dt) \cdot \frac{1}{\mathrm d t}}{\gamma_v (- \frac{v}{c^2} \mathrm d x + \mathrm d t) \frac{1}{\mathrm d t}} \\ = \frac{\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} - v}{- \frac{v}{c^2} \frac{\mathrm dx}{\mathrm d t} + 1}

\boxed{u_x' = \frac{u_x-v}{1-\frac{u_x v}{c^2}}}

$u$ auflösen

u_x' - \frac{u_x' u_x v}{c^2} = u_x-v \\ u_x'+ v = u_x + \frac{u_x' u_x v }{c^2} \\ u_x'+v = u_x \left( 1+\frac{u_x' v}{c^2} \right) \\

\boxed{ u_x = \frac{u_x'+ v}{1 + \frac{u_x'v}{c^2}} }

$y$ $z$ :

y' = y \\ z' = z \\ \Rightarrow u_y' = \frac{\mathrm d y'}{\mathrm d t'} \\ = \frac{\mathrm dy \frac{1}{\mathrm dt}}{\gamma_v(\frac{-v}{c^2} \mathrm dx + \mathrm dt)\frac{1}{\mathrm dt}} \\ = \frac{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}}{\gamma_v(\frac{-v}{c^2} \mathrm dx + \mathrm dt)\frac{1}{\mathrm dt}} = \frac{u_y}{\gamma_v (1- \frac{u_x v}{c^2})}

u_z' = \frac{u_z}{\gamma_v (1-\frac{u_x v}{c^2})}

Frage: welche Relativgeschwindigkeit misst Bob zwischen Alice und Meteor?

Antwort:

v_{rel} = (0,8+0,6) c = 1,4 c

Frage: Wie schnell sieht A den Meteor auf sich zufliegen?

$v=v_A>0$ (Bewegt sich von B weg)

$u=v_M$

u' = \frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}= \frac{-0,6 c- 0,8c}{1-\frac{(0,6c)(0,8c)}{c^2}} = \frac{-1,4 c }{1,48} = \underline{\underline{-0,946 c}}

Beispiel 2:

$v_M=c$

u' = \frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}= \frac{- c- 0,8c}{1-\frac{(-c)(0,8c)}{c^2}} = \frac{-1,8 c }{1,8} = \underline{\underline{-c}}

Photon:

$E=h \cdot \nu = c \cdot p$ hat Impuls.

$h$ $h=6.626 \cdot 10^{-34}$ J s

Heutzutage: Kern- & Elementarteilchenphysik Experimente bestätigen dies

Folge der Maxwell'schen Theorie

[d.h. geladene Batterie/Kondensator ist schwerer, heißer Körper ist schwerer...

Hier vgl. mit Person die im Raumschiff sich bewegt und sich dabei das Raumschiff in die andere Richtung bewegt, so dass Schwerpunkt unbewegt bleibt]

(1) Kasten in Ruhe

$E$ $E=c \cdot p \Rightarrow p = \frac{E}{c}$

Strahlung überträgt Impuls. Weil Gesamtimpuls null bleiben muss:

$p_K = - \frac{E}{c}$

$\Rightarrow$ $v = \frac{p}{M} = - \frac{E}{M \cdot c}$

(2) Flugzeit der Photonen

$\Delta t = \frac{L}{c}$ $v<<c$ $M$ groß)

Kasten wird abgebremst und hat sich um folgende Strecke bewegt:

\Delta x = v \cdot \Delta t = - \frac{E L}{M c^2}

System soll bei (1) und (2) den gleichen Massenschwerpunkt haben.

$E$ $m_E$ zugeordnet werden (Achtung: Photon hat keine Ruhemasse):

m_E \cdot L + M \cdot \Delta x = 0 \qquad \qquad , \Delta x <0

m_E \cdot L - \frac{E L}{M c^2} \cdot M = 0

m_E = \frac{E}{c^2}

\boxed{E = m_E \cdot c^2}

(0) & (3) muss auch Masseschwerpunkt erhalten bleiben.

Jegliche Form von Energie besitzt eine äquivalente Masse.

Allgemein gilt also:

\boxed{E = m \cdot c^2}

Errinerung:

Beispiel: $\approx 1,35 \cdot 10^3 \ \mathrm{W/m^2}$

$r_{SE} = 1,49 \cdot 10^{12}$ m

$\Rightarrow$ $P = 4 \pi r_{SE}^2 \cdot 1,35 \cdot 10^3 \mathrm{W/m^2} = 3,8 \cdot 10^{26} \ \mathrm W$

Einheiten:

\mathrm{\left[ N = \frac{kg \cdot m}{s^2} \right]}\\ \mathrm{[J=N \cdot m]} \\ \mathrm{\left[W = \frac{J}{s} = \frac{kg \cdot m^2}{s^3} \right]}

Masseverlust:

\Delta m/1s = \frac{P}{c^2} = \frac{3,8 \cdot 10^{26} \ \mathrm W }{(3 \cdot 10^8 \ \mathrm{m/s})^2} = 4,2 \cdot 10^6 \ \mathrm{\frac{Tonnen}{sec}}