exp3script06

Beginn 26 October b

Alle 10 a wird ein Lichtpuls ausgesendet.

Auflösung: durch Zählen der Lichtpulse

$\Rightarrow$ Bob 100 a alt.

$\Rightarrow$ Alice 60 a alt.

dopplergalaxien2

maxrot2

2.5 Herleitung Dopplereffekt

$S'$ $f_{\textrm{Quelle}}$ .

$\Delta t_p$ .

$\Delta t_p = \gamma \cdot \Delta t_0$

Wir sehen aber wegen Bewegung der Quelle die Wellenlänge noch zusätzlich Dopplerrotverscheibung:

c \Delta t_a = c \Delta t_p + v \cdot \Delta t_p \cdot \cos \theta

\Delta t_a = \Delta t_p + (v/c) \cdot \Delta t_p \cdot \cos \theta

$T_\text{Quelle} = t_0 = \frac{1}{f_\text{Quelle}}$

\Rightarrow \Delta t_a = \gamma_v \cdot T_\text{Quelle} \left(1+ \frac{v}{c}\cdot \cos \theta\right) \\ \Rightarrow f_\text{Beobachter} = f_\text{Quelle} \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c} \cdot \cos \theta}

$\theta = 0$ (geradlinige Entfernung)
$f_B = f_\text{Quelle} \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c}} \\ = f_\text{Quelle} \frac{\sqrt{(1-\frac{v}{c})(1+\frac{v}{c})}}{\sqrt{(1+\frac{v}{c})(1+\frac{v}{c})}} \\ = f_\text{Quelle} \sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$
Beobachtung: Rotverschiebung von Spektrallinien von Sternen
Anwendung: Dopplerkühlung von Atomen
$\theta = 180$ $\Rightarrow \cos 180$ $=-1$

f_B = f_\text{Quelle} \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c}} \\ = f_\text{Quelle} \frac{\sqrt{(1-\frac{v}{c})(1+\frac{v}{c})}}{\sqrt{(1-\frac{v}{c})(1-\frac{v}{c})}} \\ = f_\text{Quelle} \sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}

\Rightarrow f_B > f_\text{Quelle}

$\Rightarrow$ Blauverschiebung, Zeitdilatationseffekt ist schwächer

$\theta = 90$ $\Rightarrow \cos 90$ $=0$ : rein relativistischer Effekt (Zeitdilatation)
$f_B = f_\text{Quelle} \cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$
transversale Rotverschiebung
Beispiel: Derzeit größte gemessene Rotverschiebung [Lehnert et al., Nat467.0140, 2010]

f_B = \frac{1}{8,56} \cdot f_0

Deep wide field camera von Hubble Teleskop

$\alpha$ :

f_B = f_0 \cdot \underbrace{\left( \frac{1-\frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}} \right)^\frac{1}{2}}_{=\frac{1}{8,56}}

\Rightarrow \frac{1}{8,56} \cdot \sqrt{1+\frac{v}{c}}= \sqrt{1- \frac{v}{c}} \qquad \Bigg|()^2 \\ \left( \frac{1}{8,56} \right)^2 \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \left( 1-\frac{v}{c} \right) \\ \left( \frac{1}{8,56} \right)^2 + \left( \frac{1}{8,56} \right)^2 \cdot \frac{v}{c} = 1- \frac{v}{c} \\ \left( \left( \frac{1}{8,56} \right)^2 + 1 \right) \cdot \frac{v}{c} = 1 - \left( \frac{1}{8,56} \right)^2 \\ \frac{v}{c} = \frac{1- \left( \frac{1}{8,56} \right)^2}{1+\left( \frac{1}{8,56} \right)^2} = 0,973

** Ende October 26b**