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Beginn 23 October B

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2.2.4 Lorentztransformation

Die Lorentztransformation verbindet Ort & Zeit in verschiedenen Inertialsystemen.

$v$ : relative Geschwindigkeit der Bezugssysteme

$u, u'$

Rückblick: klassische Galilei-Transformation

$S':$ $x' = u' \cdot t' = u' \cdot t$ $t'=t$

$S:$ $x = u' \cdot t + v \cdot t = x' + v \cdot t$

$x' = x - v \cdot t$

Geschwindigkeit:

u' = \frac{d x'}{dt} = \frac{d(x-vt)}{dt} = u-v

$u' = u-v$ $u' = c \Rightarrow u = c+v$ $\huge \unicode{x21af}$

Herleitung der Lorentztransformation:

$t = t' = 0$ $S$ $S'$

$t,t'>0$

$\Rightarrow$ ohne äußere Kraft bleibt gleichförmige Bewegung erhalten.

x' = u' \cdot t \Rightarrow x = u \cdot t

$S:$ $S$ $t$ $x$

$S':$ ?

$\frac{dx}{dt}=$ $\Rightarrow \frac{dx'}{dt'}=$ const.

\begin{pmatrix} x' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ t \end{pmatrix}

\begin{align} \Rightarrow x' = A x + B t \qquad (1) \\ t' = C x + D t \qquad (2) \end{align}

$\frac{dx}{dt}=$ const.

\Rightarrow \frac{dx'}{dt'} = \frac{d(AX + Bt)}{dt'} = \frac{1}{D} \frac{d(Ax + Bt)}{dt} \\ = \frac{1}{D} A \frac{dx }{dt} + \frac{B}{D} = \mathrm{const.}\,\,\ \mathrm{qed.}

dt' = D \cdot dt

Betrachte 3 Bewegungen:

$S'$ fest.
$u' = 0 \Rightarrow x' = 0, \qquad x = v \cdot t$
$(1)$ einsetzen:
$0 = A v \cdot t + B t \\ \Rightarrow B = - A \cdot v$
Objekt im Ursprung S fest:

x' = -v \cdot t' \qquad x= 0

$(2)$ :

-vt' = B t \\ t' = D \cdot t \\ \Rightarrow -v D t = B t \\ \Rightarrow D = - \frac{B}{v} = A

Objekt ist Lichtstrahl

Es soll gelten:

u = u'=c \\ x' = c t' \\ x = c t

x' = A x + Bt = c t'

\begin{align} A c t -Avt = c t' \qquad \qquad &(3) \\ t' = Cx + A t = C c t + A t \qquad \qquad &(4) \end{align}

$(3)$ $(4)$ :

\frac{A}{c}c t - \frac{Av}{c}t = C c t + A t \\ C = - \frac{v}{c^2} A

auf A auf rechte Seite bringen:

\begin{align} x' = A (x- vt) \qquad \qquad &(5) \\ t' = A (- \frac{v}{c^2} x + t) \qquad \qquad &(6) \end{align}

$x,t$ $\Rightarrow$ $v$ .

\begin{align} x' = A x - Av t \qquad \qquad &(7) \\ t' = - A \frac{v}{c^2}x + A t \qquad | \cdot v \qquad &(8) \end{align}

(7)+(8): \qquad x' + v t' = Ax - A \frac{v^2}{c^2} x = \left(A- A \frac{v^2}{c^2}\right)x \\ \rightarrow x = \frac{1}{A \left( 1- \frac{v^2}{c^2} \right)} \cdot (x' + v t') \qquad \qquad (9)

$(9)$ $(8)$ :

t' = \frac{-A v/c^2}{A (1- v^2/c^2)} (x'-vt')+At \\ \Rightarrow t = \frac{t'}{A} + \frac{v/c^2}{A(1- v^2/c^2)} (x' + vt') \\ =\frac{\frac{v}{c^2}}{A(1-\frac{v^2}{c^2})}x'+\frac{t'}{A}\frac{(1- \frac{v^2}{c^2})}{(1- \frac{v^2}{c^2})}+\frac{\frac{v}{c^2}t'}{A(1-\frac{v^2}{c^2})}\\ = \frac{1}{A (1- \frac{v^2}{c^2})} \left( \frac{v}{c^2} x' + t' \right)

$S'$ $S$ $+v$ $S$ $S'$ $-v$

Koeffizienten müssen gleich sein

\frac{1}{A(1- \frac{v^2}{c^2})} = A \Rightarrow A^2 = \frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}} \\ A = \sqrt{\frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma_v

$\Rightarrow$ Lorentz-Transformation

\boxed{ \begin{align} x' &= \gamma_v (x-vt) \\ t' &= \gamma_v \left(- \frac{v}{c^2} x + t \right) \\ x &= \gamma_v (x' + vt') \\ t &= \gamma_v \left( \frac{v}{c^2} x' + t' \right) \end{align} }

$y$ $z$ ?

$\Delta z$ $\Rightarrow$

y' = y \\ z' = z

2.3 Experimente mit Myonen (1941)

$\mu ^\pm \rightarrow e^\pm + \nu_1 + \bar \nu_2$ $e^\pm:$ $\nu / \bar \nu:$ Neutrino/Antineutrino

$\mu^\pm$ erzeugt in Athmosphäre durch kosmische Strahlung

$\Rightarrow$ $u$ $c$

$\Rightarrow$ Zerfall in unserem Bezugsystem.

Bemerkung:

Auf unterschiedlicher Höhe: 1920 m verglichen mit 0 m:

$\Rightarrow$ $t_{exp} = 0,7 \ \mu$ s

$\Rightarrow$ $t_{kl} = 6,5 \ \mu$ s

$\frac{t_{exp}}{t_{kl}}=\frac{1}{9}$ kleiner. Die mittlere Geschwindigkeit der Myonen ergibt sich aus:

\left( 1- \frac{v^2}{c^2} \right) = \left( \frac{\tau_0}{\tau} \right)^2 = \frac{1}{81} \\ \Rightarrow \frac{v}{c} = 0,9994

Was sieht das Myon?:

Athmosphäre Längenkontrahiert

$v = 0,98 c$ 3 km Höhe

$t_0=2,2 \ \mu$ s

$d = v t = 0,98 \cdot 10^8 \ \mathrm{\frac{m}{s}} \cdot t_0 = 647$ m

$t = \frac{d}{v} = 10,2 \ \mu$ s

Zeitdilatation für uns:

t_B = \gamma_v \cdot t_0 = 11,1 \ \mathrm{ \mu s} > t_0

Myon sieht 3 km:

L = \frac{L_0}{\gamma_v} = 597 \ \mathrm{m} < d

Myon braucht für diese Strecke

t = \frac{L}{v} = 2,03 \ \mathrm{\mu s} < t_0

Ende 23 October B