Vorlesung_52_20180208

S.4.4 Photonen-Propagator

Beispiel: Elastische Streuung Elektron mit punktförmigem Dirac-Proton (gibt es nicht wirklich)

e+p\rightarrow e+p\\ p_1+p_2=p_3+p_4\\ \underbrace{\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2\right)}_{\text{d'Alembert Operator }\hat \square}A^\mu(x)=e\underbrace{J^\mu(x)}_\text{vom Proton erzeugte Viererstrom}

Lorentz-Eichung:

\partial_\mu A^\mu=0

Greensche Funktion:

\hat \square D^{\mu\nu}(x-x')=g^{\mu\nu}\delta ^4(x-x')

g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}

Lösung:

A^\mu=e\int\text{d}^4x'D^{\mu\nu}(x-x')J_\nu(x')\ \ (*)\\ \hat \square A^\mu=e\int\text{d}^4x'\underbrace{\hat \square D^{\mu\nu}(x-x')}_{g^{\mu\nu}\delta^4(x-x')}J_\nu(x')=eJ^\mu(x)

Fouriertransformation:

D^{\mu\nu}(x-x')=\frac{1}{(2\pi)^4}\int\text{d}^4q\widetilde{D}^{\mu\nu}(q)\exp(-iq\cdot(x-x'))

$\hat{\square}$ :

\hat{\square}D^{\mu\nu}(x-x')=\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\widetilde{D}^{\mu\nu}(q)(-q^2)\exp(-iq(x-x'))=g^{\mu\nu}\delta^4(x-x')

\delta^4(x-x')=(2\pi)^4 \int dq^4 \exp(-iq(x-x'))

\\ \Rightarrow \widetilde{D}^{\mu\nu}(q)=\frac{-g^{\mu\nu}}{q^2+i\varepsilon}\ (\varepsilon >0)

$i\epsilon$ im Nenner sorgt wie beim Elektronenpropagator dafür, dass Wellenfunktion mit E>0 nur in Zukunft ausgebreitet wird und Wellenfunktion für E<0 nur in die Vergangenheit (Folge aus Konturintegral mit Residuensatz).

S.4.5 Feynman-Regeln

$f\neq i$ ):

eJ^\mu=e\bar\psi_f(x)\gamma^\mu\psi_i(x)

Matrixelemente erster Ordnung

\psi_i(x)=u(p_2)\exp(-ip_2\cdot x)\\ \psi_f(x)=u(p_4)\exp(-ip_4\cdot x)\\ eJ^\mu(x)=e\bar u(p_4)\gamma^\mu u(p_2)\exp(i(p_4-p_2)\cdot x)

$D$ $(*)$ einsetzen:

\begin{align} A^\mu (x)=&\frac{e}{(2\pi)^4}\int \text{d}^4x'\int\text{d}^4q\frac{-g^{\mu\nu}}{q^2+i\varepsilon}\exp{(i(p_4-p_2+q)x')}\exp(-iqx)\bar u(p_4)\gamma_\nu u(p_2) \end{align}

$\Rightarrow$ $\delta$ -Funktion (Impulserhaltung am Vertex)

A^\mu(x)=e\int\text{d}^4q\ \delta^4 (p_4-p_2+q)\frac{-g^{\mu\nu}}{q^2+i\varepsilon}\exp(-iqx)\bar u(p_4)\gamma_\nu u(p_2)

$e^-$ $S$ -Matrix erster Ordnung

\phi_i(x)=u(p_1)\exp(-ip_1\cdot x)\\ \phi_f(x)=u(p_3)\exp(-ip_3\cdot x)\\\\ S_{fi}=ie\int \text{d}^4x\bar \phi_f(x)\gamma^\mu A_\mu(x)\phi_i(x)

$\Rightarrow$ $x\Rightarrow (2\pi)^4\delta ^4(p_3-p_1-q)$ : Impulserhaltung am anderen Vertex

S_{fi}^{(1)}=ie^2\int\text{d}^4q\ \delta^4 (p_4-p_2+q)\cdot\delta^4(p_3-p_1-q)(2\pi)^4\bar u(p_3)\gamma_\mu u(p_1)\frac{-g^{\mu\nu}}{q^2+i\varepsilon}\bar u(p_4)\gamma_\nu u(p_2)

Falls anstatt virtuellem Photon virtuelles Elektron ist folgender Term zu verwenden:

$i\frac{\gamma^\mu p_\mu + m}{p^2-m^2+i\epsilon}$

Beispiele

https://www.youtube.com/watch?v=aOz-Xj_znrs

$Z$ Boson und geladenen %W^+, W^-$ Bosonen wechselwirken (Austauschteilchen der Schwachen-Wechselwirkung)
$\beta^-$