Vorlesung_51_20180205

S.4.2 Elektron-Propagator

\psi(x)=-e\int\text{d}^4x' K(x-x')(\gamma^\mu A_\mu(x')-m)\psi(x')\ (*)

$t'$ $t$ in der Zukunft propagieren.

$(*)$ $\psi(x')$ unter dem Integral z.B. als Näherung die ebene Welle einsetzen und bekommt dann eine bessere Näherung durch Integration. Diese kann man dann wieder iterativ in das Integral einsetzen, usw. Die Feynman Graphen visualisieren dieses Nährungsverfahren.

(*) unter Addition der homogenen Lösung:

\Rightarrow \psi(x)=\underbrace{\phi(x)}_\text{Ebene Welle}-e\int \text{d}^4x'K(x-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\psi(x')

Nullte Näherung:

\psi^0(x)=\phi(x)

Kopplungskonstante

\frac{e\int K(x-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\psi(x')\text{d}^4x'}{\phi(x)}\sim \alpha=\frac{e^2}{4\pi\hbar c}\approx\frac{1}{137}

Näherung erster Ordnung (eine Wechselwirkung mit dem Potential):

\begin{align} \psi^{(1)}(x)&=\phi(x)-e\int\text{d}^4x' K(x-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\underbrace{\psi^{(0)}(x')}_{=\phi(x')}\\ &=\phi(x)-e\int\text{d}^4x' K(x-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi(x') \end{align}

Näherung zweiter Ordnung (zwei Wechselwirkungen mit dem Potential):

\begin{align} \psi^{(2)}(x)&=\phi(x)-e\int\text{d}^4x' K(x-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\psi^{(1)}(x') \end{align}

\begin{align} \psi^{(2)}(x)&=\phi(x)-e\int \text{d}^4x' K(x-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi(x')\\&+e^2\int \text{d}^4x'\int \text{d}^4x'' K(x-x'')\gamma^\mu A_\mu(x'')K(x''-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi(x') \end{align}

S.4.2.1 Berechnung der Greenfunktion

$\Rightarrow$ analytische Gleichung (hier wieder x, p 4er Vektoren)

K(x-x')=\frac{1}{(2\pi)^4}\int \text{d}^4p\widetilde{K}(p)\exp(-ip\cdot(x-x'))

$\widetilde{K}(p)$ ist Impulspropagator.

Einsetzen in Dirac Gleichung (Fouriertransformierte der Ableitung ist 4er Vektor p):

\underbrace{(i\gamma^\mu \partial_\mu-m)K(x-x')}_{=\delta^4(x-x') }=\frac{1}{(2\pi)^4}\int \text{d}^4p(\gamma ^\mu p_\mu-m)\widetilde{K}(p)\exp(-ip\cdot(x-x'))\\ \delta^4(x-x')=\frac{1}{(2\pi)^4}\int\text{d}^4p\exp(-ip\cdot(x-x'))\\ (\gamma^\mu p_\mu-m)\widetilde{K}(p)=\mathbb{I}

$\mathbb I$ : 4x4-Einheitsmatrix

$(\gamma^\mu p_\mu+m)$

(\gamma^\mu p_\mu+m)(\gamma^\mu p_\mu-m)\widetilde{K}(p)=(\gamma^\mu p_\mu+m)\\ (p^2-m^2)\widetilde{K}(p)=(\gamma^\mu p_\mu+m)\\ \Rightarrow \widetilde{K}(p)=\frac{(\gamma^\mu p_\mu+m)}{p^2-m^2}\text{, für }p^2-m^2\neq 0 \\p^2-m^2\neq 0\\ E^2-\vec{p}^2-m^2\neq 0

$E^2\neq(c\vec{p})^2+m^2c^4$

$\widetilde{K}(p)$ ist Impulspropagator für virtuelle Elektronen.

Wenn diese Teilchen kurz existieren ist Energieverletzung erlaubt

\Delta E\cdot\Delta t\geq\frac \hbar 2\\ K(x-x')=\frac{1}{(2\pi)^4} \int \text{d}^3p\exp(i\vec p\cdot(\vec x-\vec x'))\int_{-\infty}^\infty\text{d}p_0\frac{\exp(-ip_0(t-t'))(\gamma^\mu p_\mu+m)}{(p_0-E)(p_0+E)}

$p_0=\pm E$

$K(x-x')$ $t'$ $t$

$\exp(-ip_0(t-t'))$ $p_0$ $\pm\infty$ gehen lässt.

$t>t'$ $p_0=+E$ positive Energie also normale Teilchen):

\int\text{d}p_0\frac{1}{p_0-E}\underbrace{\frac{(\gamma^\mu p_\mu+m)\exp(-ip_0(t-t'))}{p_0+E}}_{=f(p_0)}\\ =\underbrace{\oint}_\text{Uhrzeigersinn}dp_0\frac{1}{p_0-E}f(p_0)= \underbrace{-}_\text{math.neg.Umlauf}2\pi if(p_0=E)\\ K_+(x-x')=-i(2\pi)^{-3}\int\text{d}^3p\exp[i\vec p\cdot(\vec x-\vec x')-\underbrace{iE(t-t')]\frac{\gamma^0E-\vec \gamma\cdot \vec p+m}{2E}}_{=f(E)}

$t<t'$ $p_0=-E$ negative Energie also Anti-Teilchen):

\Rightarrow\int\text{d}p_0\frac{1}{p_0+E}\underbrace{\frac{(\gamma^\mu p_\mu+m)\exp(-ip_0(t-t'))}{p_0-E}}_{=g(p_0)}\\ =\underbrace{\oint}_\text{gegen Uhrzeigersinn}dp_0\frac{1}{p_0+E}g(p_0)=+2\pi ig(p_0=E)\\K_-(x-x')=-i(2\pi)^{-3}\int\text{d}^3p\exp[i\vec p\cdot(\vec x-\vec x')+\underbrace{iE(t-t')]\frac{-\gamma^0E-\vec \gamma\cdot \vec p+m}{2E}}_{=g(-E)}

$i\epsilon$ in komplexe Ebene.

Nenner:

\left[p_0+\left(E-\frac{i\varepsilon}{2E}\right)\right]\cdot\left[p_0-\left(E-\frac{i\varepsilon}{2E}\right)\right]=p^2-m^2+i\varepsilon\\ \widetilde{K}(p)=\frac{\gamma^\mu p_\mu+m}{p^2-m^2+i\varepsilon},\ \varepsilon>0

S.4.2.2 Zeitliche Entwicklung

$k_0>0$ $x'=(t',\vec x')$

\Phi(x')=u(k)\exp(-ik_0t+i\vec k\cdot\vec x')

$t>t'$

\Rightarrow \Phi(x)=i\int\text{d}^3x' K(x-x')\gamma^0\Phi(t',\vec x')

$K_+(x-x')$ (gelb, Vorwärtspropagator)

\int d^3 p \underbrace{(2 \pi)^{-3}\int d^3 x' exp(i(\vec{k}-\vec{p})\cdot \vec{x})}_{\delta^3(\vec{k}-\vec{p})}\frac{\gamma^0 E-\vec{\gamma}\cdot \vec{k}+m}{2E}exp(i(E-k_0)t')\gamma^0u(k)exp(i\vec{p}\cdot\vec{x}-iEt)\\ =exp(-ik_0 t + i \vec{k}\cdot\vec{x})\frac{(\gamma^0 k_0-\vec{\gamma}\cdot\vec{k}+m)\gamma_0u(k)}{2 k_0} \;\; (*)

$\vec{k}=\vec{p}$ $\Rightarrow$ $k_0=E$ .

$(\gamma^\mu k_\mu -m)u(k)=(\gamma^0k_0-\vec{\gamma}\cdot\vec{k}-m)u(k)=0$

$\Rightarrow (\vec{\gamma}\cdot\vec{k}+m)u(k)=\gamma^0k_0u(k)$

$(\gamma^0 k_0-\vec{\gamma}\cdot\vec{k}+m)\gamma_0u(k)=\gamma^0(\gamma^0 k_0+\vec{\gamma}\cdot\vec{k}+m)u(k)=2k_0u(k)$

$\Rightarrow (*)=u(k)\exp(-ik_0t+i\vec{k}\cdot \vec{x})=\Psi(x)$ .

$K_-$ $(-\gamma^0k_0-\vec{\gamma}\cdot\vec{k}+m)\gamma^0u(k)=0$

D.h. normale Teilchen werden nicht in Vergangenheit Zeit entwickelt.

$k_0>0$ :

\Rightarrow i\int\text{d}^3x' K(x-x')\gamma^0\Phi(t',\vec x')=\begin{cases}\Phi(t,\vec x) & t>t'\\0&t<t'\end{cases}

Analog kann man zeigen dass für Anti-Teilchen mit negativer Energie die Welle nur in die Vergangenheit zeitentwickelt werden.

$\bar{\Phi}$ einer ebenen Welle positiver Energie wird in die Vergangenheit ausgebreitet:

\bar{\Phi}=\Phi^\dagger\gamma^0=\begin{pmatrix}\Phi_1^*,&\Phi_2^*,&-\Phi_3^*,&-\Phi_4^*\end{pmatrix}\\ \bar{\Phi}(t',\vec x')=i\int\text{d}^3x \bar{\Phi}(t,\vec x)\gamma^0K(x-x')=i\int \text{d}^3x \Phi^\dagger(t,\vec{x})K(x-x') \;\;\text{für t'<t}

S.4.3 Matrixelemente für Elektronenstreuung

$\psi_\text{Streu}$ $\phi_f$ $p_f$ herausprojizieren

\begin{align} \psi_\text{streu}=&\underbrace{S}_\text{Matrix}\cdot \phi_i\\ \psi_\text{streu}^{(1)}(x_2)=&\phi_i(x_2)-e\int \text{d}^4x'K(x_2-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi_i(x')\\ \psi_\text{streu}^{(2)}(x_2)=&\phi_i(x_2)-e\int \text{d}^4x'K(x_2-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi_i(x')\\&+e^2\int \text{d}^4x'\int \text{d}^4x''K(x_2-x'')\gamma^\mu A_\mu(x'')K(x''-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi_i(x') \end{align}

Übergangsmatrixelement ist gegeben durch Überlappungsintegral:

S_{fi}=\int \text{d}^3x_2\phi^\dagger_f(x_2)S\phi_i(x_2)=\int \text{d}^3x_2\phi^\dagger_f(x_2)\psi_\text{streu}(x_2)=\underbrace{2E_i}_{\text{normierung der Ebenen Welle }}\underbrace{\delta_{fi}}_{1 \text{für}f=i}+S_{fi}^{(1)}+S_{fi}^{(2)}

4.3.1 Matrixelemente erster Ordnung

\begin{align} S_{fi}^{(1)}=&-e\int \text{d}^4x'\underbrace{\int\text{d}^3x_2\phi_f^\dagger(x_2)K(x_2-x')}_{=-i\bar \phi_f(x')\;\text{Zeitl. Rückpropagation vom Detektor zum Streupunkt}}\gamma^\mu A_\mu(x')\phi_i(x')\\=&i\cdot e\int \text{d}^4x'\bar\phi_f(x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi_i(x') \end{align}

S.4.3.2 Matrixelemente zweiter Ordnung

\begin{align} S_{fi}^{(2)}=&e^2\int \text{d}^4x'\int \text{d}^4x''\underbrace{\int\text{d}^3x_2 \phi_f^\dagger K(x_2-x'')}_{=-i\bar\phi_f(x'')}\gamma^\mu A_\mu(x'')K(x''-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi_i(x')\\ =&-ie^2\int \text{d}^4x'\int \text{d}^4x''\bar\phi_f(x'')\gamma^\mu A_\mu(x'')K(x''-x')\gamma^\mu A_\mu(x')\phi_i(x') \end{align}