Vorlesung_50_20180205

$e^-$ mit elektromagnetischen Feld

konjugierter Impuls beinhaltet Feld:

\vec p\rightarrow \vec p-q\vec A,\text{ potentielle Energie: }q\phi

$\vec{B}(\vec{r},t)\equiv \nabla \times \vec{A}(\vec{r},t)$

$\vec{E}(\vec{r},t)=-\nabla \phi( \vec{r},t) -\partial_t \vec{A}(\vec{r},t)$

Dirac Gleichung:

i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(c\vec\alpha\cdot(\hat{\vec p}-q\vec A)+mc^2\beta+q\phi \right)\psi

Verallgemeinerter Impulsoperator:

\hat{\vec{P}}=\hat{\vec p}-q\vec A=-i\hbar \nabla- q\vec A

DGL für große Komponente:

i\hbar \dot \varphi=\frac{1}{2m}(\vec \sigma\cdot \vec P)(\vec \sigma\cdot \vec P)\varphi+q\phi\varphi\\ (\vec \sigma\cdot \vec a)(\vec \sigma\cdot \vec b)=\vec a\cdot\vec b+i\vec \sigma\cdot(\vec a\times \vec b)\\ \sigma_y\sigma_x=-\sigma_x\sigma_y=-i\sigma_z\\ \vec B=\nabla\times \vec A\\ \Rightarrow i\hbar \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\left[\frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla+eA)^2+\frac{e\hbar}{\mathbf{2}m}\vec \sigma \cdot \vec B -e\phi\right]\varphi

Vergleich SGL:

i\hbar \frac{\partial \psi_s}{\partial t}=\left[\frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla+eA)^2 -e\phi\right]\psi_s

Vergleich:

E_\text{pot}=-\vec\mu_e\cdot \vec B\Rightarrow \mu_e=-\frac{e\hbar}{2m}=-\mu_\text{Bohr}=-g\frac{e}{2m}\frac{\hbar}{2}\text{, mit }g\approx 2

In Theorievorlesungen werden wir sehen, dass das magnetische Feld durch Lorentztransformation des E-Feldes in ein bewegtes Bezugsystem entsteht. Daher taucht erst durch hinzunahme der relativistischen Impuls-Energie-Beziehung das B-Feld im Hamiltonian auf.

S.2: Relativistische Kovarianz der Dirac-Gleichung

Kovariant nennt man ein Transformationsverhalten, bei dem sich die Basisvektoren und die darin dargestellten Vektoren (Größen) in gleicher Weise transformieren. Das kovariante Transformationsverhalten garantiert die Formerhaltung von Gleichungen beim Wechsel des Bezugsystems (Koordinatensystems). [Quelle Wikipedia]

Definitionen:

im folgenden setzen wir:

c=\hbar=1\;\;\text{Umwandlung in S.I. Einheiten durch:}\;\;m\rightarrow mc^2\;\;\text{und}\;\;\omega\rightarrow \hbar\omega\\ \text{Kontravariant: }\partial^\mu=\frac{\partial}{\partial x_\mu}=\left(\frac{\partial}{\partial t},-\nabla \right)\\ \text{Kovariant: }\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left(\frac{\partial}{\partial t},\nabla \right)\\

mit Lorenztransformation:

\begin{pmatrix}\gamma&-\gamma\frac v c&0&0\\-\gamma\frac v c &\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

$\gamma$ -Matrizen:

\gamma^0=\beta,\ \gamma^1=\beta\alpha_1,\ \gamma^2=\beta\alpha_2,\ \gamma^3=\beta\alpha_3\\ \gamma^0=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix},\ \gamma^1=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}\\ \gamma^2=\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix},\ \gamma^3=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}

Dirac Gleichung ohne Feld:

(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi(x)=0\\ \gamma^\mu\partial_\mu=\sum_{\mu=1}^4\gamma^\mu\partial_\mu

Dirac Gleichung mit Feld:

$A^\alpha = \left( \phi / c , \mathbf{A} \right)$

(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi(x)=q\gamma^\mu A_\mu\psi(x)

S.2.3 Ebene Wellen, Dirac-Spinoren

$\varphi(p,t)\propto exp(-iEt)=exp(-imt)$ $\chi(p,t)\propto exp(+iEt)=exp(+imt)$ .

$mt$ ?

$p$ $x$ Vierervektoren:

$x^\mu=(t,x)$

$p^\mu=(E,p)$

$p\cdot x=p^\mu g_{\mu\nu}x^\nu=p_\nu x^\nu=p_0 x_0 - \vec{p}\cdot \vec{x}=Et-\vec{p}\cdot\vec{x}$

mit metrischem Tensor:

$g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$

$\Rightarrow$ $mt%$ $p \cdot x=Et-\vec{p}\cdot\vec{x}$

Ansatz:

\psi(x)=\begin{pmatrix}\varphi(p)\\\chi(p)\end{pmatrix}\exp(\mp p\cdot x)\textrm{ minuszeichen für }\varphi\\ (i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi(x)=(\pm \gamma^\mu p_\mu -m)\begin{pmatrix}\varphi\\\chi\end{pmatrix}\exp(\mp p\cdot x)=0\\ \gamma^\mu p_\mu=E\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&\vec \sigma \cdot \vec p\\-\vec \sigma\cdot \vec p&0\end{pmatrix}

$\Rightarrow$ 2 gekoppelt DGL:

(E\mp m)\varphi-(\vec\sigma\cdot\vec p)\chi=0\ (**)\\ (E\pm m)\chi-(\vec\sigma\cdot\vec p)\varphi=0\ (*)

$e^-$ $\Rightarrow$ nur oberes Vorzeichen ist relevant.

+E=\sqrt{p^2+m^2}

$e^-$ :

E+m\geq 2m\\ E-m\sim 0\text{ für nicht relativistischen Grenzfall}

$(*)$ Plus-Vorzeichen relevant:

\chi=\frac{\vec \sigma \cdot \vec p}{E+m}\varphi\\\Rightarrow \varphi_1=N\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\ \varphi_2=N\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\ N=\text{Normierung}

Lösung mit positiver Energie:

u_1(p)=N\begin{pmatrix}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{pmatrix},\ u_2(p)=N\begin{pmatrix}0\\1\\\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\end{pmatrix}

$E=-\sqrt{p^2+m^2}$ $\varphi$ eliminieren (verwende (**) unteres Plus-Vorzeichen):

\varphi=\frac{\vec \sigma \cdot \vec p}{E +m}\chi\\ v_1(p)=N\begin{pmatrix}\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\\0\\1\end{pmatrix},\ v_2(p)=N\begin{pmatrix}\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\\1\\0\end{pmatrix}\\N=\sqrt{E+m}\Rightarrow u^\dagger u=2E\\ \psi_+(x,t)=u_{1,2}(p)\exp(-iEt)\exp(+i\vec p\cdot \vec x)\\ \psi_-(x,t)=v_{1,2}(p)\exp(+iEt)\exp(-i\vec p\cdot \vec x)

S.3 Interpretation der Lösung negativer Energie

Dirac: See von Antiteilchen

1706777446571

die Anregung beschreibt Paarerzeugung und der die Abregung bei dem Teilchen in ein Loch springt beschreibt Anihilation. Das Loch steht für ein Antiteilchen.

Problem wenn Pauli-Prinzip nicht gültig z.B. bei ganzzahligem Spin.

$e^-$ , Loch

Stückelberg-Feynman-Bild:

Wellenfunktionen mit negativen Energien lässt man rückwärts in der Zeit laufen. Dann beschreiben sie Antiteilchen, die vorwärts in der Zeit laufen.

S.4 Feynman-Graphen

Streuung geladener Teilchen:

Compton:

S.4.1 Greensche Funktion (Methode zur Lösung von inhomogenen Differentialgleichungen)

Viererstromdichte:

j^\mu=(c\varrho,\vec j)

Vierervektorpotential:

\text{Kovariante Schreibweise: }A^\mu=(\phi,\vec A)\\ \text{Kontravariante Schreibweise: }A_\mu=(\phi,-\vec A)

$e^-$ im elektromagnetischem Feld

(i\gamma^\mu \partial _\mu-m)\psi(x)=e\gamma^\mu A_\mu(x)\psi(x)

DGL im allgemeinen nicht analytisch lösbar

Analog zu Elektrostatik

Poisson-Gleichung:

\nabla^2\phi(x)=-\varrho(x)

$\varepsilon_0, \mu_0=1$ gesetzt (Heaviside-Lorentz-Einheitensystem) .

$\vec x'$ :

\varrho (x)=q\delta^3 (\vec x,\vec x')\Rightarrow \phi(x)=\frac{q}{4\pi\left|\vec x-\vec x'\right|}

Kontinuierliche Ladungsverteilung:

\phi(x)=\int\frac{\varrho(x')}{4\pi\left|x-x'\right|}\text{d}^3x'

mit Hilfe der Greenschen Funktion für die gelten soll:

\nabla^2 G(\vec x,\vec x')=-\delta^3(\vec x,\vec x')

Lösung der DGL ist:

\phi(\vec x)=\int G(\vec x,\vec x')\varrho (\vec x')\text{d}^3x'

denn

\begin{align} \nabla ^2\phi(\vec x)&=\int \nabla ^2G(\vec x,\vec x')\varrho (\vec x')\text{d}^3x'\\ &=-\int \delta^3 (\vec x,\vec x')\varrho (\vec x')\text{d}^3x'=-\varrho(\vec x )\\ &\Rightarrow G(\vec x,\vec x')=G(\vec x-\vec x')=\frac{1}{4\pi\left|\vec x-\vec x'\right|} \end{align}

$1$ .

Angewandt auf Dirac:

(i\gamma^\mu \partial _\mu-m)\underbrace{K(\underbrace{x,x'}_\text{Vierervektor})}_\text{Greensche Funktion}=\delta^4(x-x')

$K$ $(x-x')$

$K$

\Rightarrow \psi(x)=-e\int\text{d}^4x' K(x-x')(\gamma^\mu A_\mu(x'))\psi(x')\ (*)

Ist Lösung der Dirac Gleichung, denn eingesetzt:

(i\gamma^\mu\partial_\mu-m )\psi(x)=-e\int \underbrace{(i\gamma^\mu\partial_\mu -m)K(x-x')}_{=\delta^4(x,x')}(\gamma^\mu A_\mu(x'))\psi(x')\text{d}^4x'=-e\gamma^\mu A_\mu(x)\psi(x)\checkmark

Problem: Auf rechter Seite steht gesuchte Lösung.