Vorlesung_49_20180201

12 Teilchenphysik

12.1 Wirkungsweise von Kräften

Idee: Kräfte durch Austauschteilchen vermittelt (Quantenfeldtheorie)

Energieerhaltung für virtuelle Austauschteilchen:

\Delta t\Delta E\approx \hbar

Erlaubt Energieverletzung für kurze Zeiten

\Rightarrow \Delta t=\frac{\hbar}{m c^2}

Schwere virtuelle Austauschteilchen kurzlebig

\Delta x= c\cdot \Delta t=\frac{\hbar}{mc}\widehat{=}\text{ Reichweite}

$\Rightarrow$ $W^+, W^-, Z^0$ Bosonen (schwer) kurzreichweitig)

Photon mit Ruhemasse 0 hat unendliche Reichweite.

12.2 Antiteilchen

Für jedes Teilchen gibt es Antiteilchen

Ein Teilchen mit seinem Antiteilchen kann annihilieren.

Feynman-Graphen und Eichtheorie für Experimentalphysiker, Peter Schmüser

$1/2$ Teilchen: Leptonen, Quarks)

S.X.X beschreiben im folgenden Kapitel im Buch Schmüser

S.1.2 Schrödingergleichung:

E=\hbar \omega,\ \vec p=\hbar \vec k\ (k=\frac{2\pi}{\lambda})

Wellenform: Ebene Welle

\Psi(\vec r,t )=\frac{1}{\sqrt{V}}\exp(i\vec k\cdot \vec r)\exp(-i\omega t)\\ \hat{E}_\text{op}\Psi(\vec r,t)=E\Psi(\vec r,t)=\hbar \omega \Psi(\vec r,t)\\ \hat p\Psi(\vec r,t)=\hbar \vec k\Psi(\vec r,t)\\ \hat{E}_\text{op}\equiv\hat H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\\ \hat p= -i\hbar\nabla_{\vec r}\\ \hat{E}=\hat{E}_\text{Kin}=\frac{\hat p^2}{2m}

$\Rightarrow$ SGL für freies Teilchen

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi

Mit Potential:

E=\frac{p^2}{2m}+V(\vec r,t)

SGL:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec r,t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec r,t)\right)\Psi(\vec r,t)\\ \hat E\Psi(\vec r,t)=\hat H\Psi(\vec r,t)

Zeitunabhängige SGL:

\Psi(\vec r,t )=\psi(\vec r)\exp({-i E t/\hbar})\\ \hat H\psi(\vec r)=E\psi(\vec r)

Wahrscheinlichkeitsdichte:

\varrho=\Psi^*(\vec r,t)\Psi(\vec r,t)

Wahrscheinlichkeitsstromdichte:

\vec{j}=\frac{\hbar}{2i m}\left(\Psi^*(\vec r,t)(\nabla\Psi(\vec r,t))-(\nabla \Psi^*(\vec r,t))\Psi(\vec r,t) \right)

Kontinuitätsgleichung:

\frac{\partial \varrho}{\partial t}+\nabla\cdot \vec{j}=0

S.1.3 Die Klein-Gordon-Gleichung

Relativistische Energie-Impuls-Relation

E^2=p^2c^2+(mc^2)^2\\ -\hbar^2\frac{\partial^2 \Phi^2}{\partial t^2}=\left(-\hbar^2c^2\nabla^2+(mc^2)^2\right)\Phi

Umordnen:

\left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\left(\frac{mc^2}{\hbar}\right)^2 \right]\Phi(\vec r,t)=0

Lösung: ebene Welle

\Phi(\vec r,t)=\frac{1}{\sqrt{V}}\exp(i(\vec k\cdot \vec r\pm\omega t ))

$\pm\omega$ $\Rightarrow$ positive und negative Energien

Einsetzen:

(\hbar \omega)^2=p^2c^2+m^2c^4\\ E=\pm\hbar \omega =\pm \sqrt{c^2p^2+m^2c^4}

Wellenfunktion mit positiver Energie:

\Phi_+(\vec r,t)=\frac{1}{\sqrt{V}}\exp(i(\vec k\cdot \vec r-\omega t ))\\ i\hbar\frac{\partial \Phi_+}{\partial t}=+\hbar\omega\Phi_+

Wellenfunktion mit negativer Energie:

\Phi_-(\vec r,t)=\frac{1}{\sqrt{V}}\exp(i(\vec k\cdot \vec r+\omega t ))\\ i\hbar\frac{\partial \Phi_-}{\partial t}=-\hbar\omega\Phi_-\\ \vec{j}=\frac{\hbar}{2i m}\left(\Phi^*(\vec r,t)(\nabla\Phi(\vec r,t))-(\nabla \Phi^*(\vec r,t))\Phi(\vec r,t) \right)

$\Rightarrow$ Wahrscheinlichkeitsdichte:

\varrho=\frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\Phi^*\frac{\partial \Phi}{\partial t}-\frac{\Phi^*}{\partial t}\Phi \right)

$\Rightarrow$ Antiteilchen).

S.1.4 Dirac-Gleichung

$1/2$ Teilchen und magnetisches Moment von 2 des Elektron (Lepton, Quarks).

Relativistisch kovariante DGL mit auschließlich Ableitung erster Ordnung:

i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}\equiv \hat H \Psi=-i\hbar c\left(\alpha_1\frac{\partial \Psi}{\partial x_1}+\alpha_2\frac{\partial \Psi}{\partial x_2}+\alpha_3\frac{\partial \Psi}{\partial x_3}\right)+\beta mc^2\Psi

$\Psi$ $\alpha_i$ $\beta$ $4\times 4$ -Matrizen sein. Ziel ist es durch geeignete Wahl der Parameter die relativistische Energie Impuls Relation zu erfüllen.

$E^2$ $t$ $\frac{\partial \Psi}{\partial t}$ $\Rightarrow$

\begin{align} i\hbar \frac{\partial ^2\Psi}{\partial t^2}&= -i\hbar c\left(\sum_i\alpha _i\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x_i\partial t}\right)+\beta mc^2\frac{\partial \Psi}{\partial t}\\ \Rightarrow \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}&=c^2\sum_{j=1}^3\alpha_j^2\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x_j^2}-\left(\frac{mc^2}{\hbar}\right)^2\beta ^2\Psi+c^2\sum_{j\neq k}\frac 1 2 (\alpha_j\alpha_k+\alpha_k\alpha_j)\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x_j\partial x_k}\\&+\frac{imc^3}{\hbar}\sum_{j=1}^3(\alpha_j\beta+\beta\alpha_j)\frac{\partial \Psi}{\partial x_j}\\ \end{align}

Soll die Form der relativistischen Energie-Impuls Beziehung annehmen:

$E^2=p^2c^2+(mc^2)^2$

$\Rightarrow \alpha_j^2=1,\ \alpha_j\alpha_k+\alpha_k\alpha_j=0(j\neq k),\ \alpha_j\beta +\beta\alpha_j=0, \beta^2=1$

Nicht erfüllbar mit reellen oder komplexen Zahlen

Bedingungen an Koeffizienten:

$\hat H$ $\Rightarrow$ $\alpha_i,\beta$ hermitesch
$\alpha_j^2=\beta^2=\mathbb{I}$ $\alpha_j, \beta$ $\pm1$
$=0$
$Spur(\alpha_j)=Spur(\underbrace{\beta\beta}_{=\mathbb{I}}\alpha_j)=Spur(\underbrace{\beta\alpha_j}_{=-\alpha_j\beta}\beta)=Spur(-\alpha_j\beta\beta)=Spur(-\alpha_j)=-Spur(\alpha_j)$
$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Dimension muss gerade sein
$Spur=0$

\text{2 Dim: }\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}\\ \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\ i& 0\end{pmatrix}\\ \sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1 \end{pmatrix}

$\sigma_1=\sigma_x$ $\sigma_2=\sigma_y$ $\sigma_3=\sigma_z$

$\huge\unicode{x21af}$

$\Rightarrow N$ mindestens 4 (Dimension)

Mit folgender Lösung :

\alpha_i=\begin{pmatrix}0&\sigma_i\\\sigma_i&0\end{pmatrix},\ \beta=\begin{pmatrix}\mathbb{I}&0\\0&-\mathbb{I}\end{pmatrix}\\ \alpha_1=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}\\ \alpha_2=\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}\\ \alpha_3=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}\\ \beta = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}

Wellenfunktion ist 4-er Vektor:

\Psi=\begin{pmatrix}\Psi_1\\\Psi_2\\\Psi_3\\\Psi_4\end{pmatrix}\\

Wir haben für Wahrscheinlichkeitsdichte und Stromdichte:

\varrho=\Psi^*\Psi=\left|\Psi_1\right|^2+\left|\Psi_2\right|^2+\left|\Psi_3\right|^2+\left|\Psi_4\right|^2\\j=c\Psi^*\underbrace{\vec \alpha}_{\text{Vektor aus Matrizen }\alpha_j} \Psi

Dirac Gleichung

i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}\equiv \hat H \psi=-i\hbar c\left(\alpha_1\frac{\partial \psi}{\partial x_1}+\alpha_2\frac{\partial \psi}{\partial x_2}+\alpha_3\frac{\partial \psi}{\partial x_3}\right)+\beta mc^2\psi

$\varphi=\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\end{pmatrix}$ $\chi=\begin{pmatrix}\psi_3\\ \psi_4\end{pmatrix}$ :

\psi(\vec r,t)=\begin{pmatrix}\varphi\\\chi\end{pmatrix}, \ \beta=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}\\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}\varphi\\\chi\end{pmatrix}=c\, \vec \sigma\cdot \vec p\begin{pmatrix}\chi\\\varphi\end{pmatrix}+mc^2\begin{pmatrix}\varphi\\-\chi\end{pmatrix},\ \vec \sigma =\begin{pmatrix}\sigma_1\\\sigma_2\\\sigma_3\end{pmatrix}

S.1.5 Nichtrelativistischer Grenzfall

$e^-$ :

Dirac Gleichung:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec r,t)=mc^2\beta\psi(\vec r,t )\\ i\hbar \begin{pmatrix}\dot \psi_1\\\dot \psi_2\\\dot \psi_3\\\dot \psi_4\end{pmatrix}=mc^2\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\\ \psi_4\end{pmatrix}

4 unabhängige Lösungen:

\begin{align} \psi_1&=\exp(-i\underbrace{\omega_0}_{\hbar \omega _0=mc^2}t)\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow \text{Spin up Teilchen}\\ \psi_2&=\exp(-i\omega_0t)\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow \text{Spin down Teilchen}\\ E_1&=E_2=+\hbar \omega_0=+mc^2 \;\;\text{Teilchen mit positiver Energie}\\ \psi_3&=\exp(+i\omega_0t)\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow \text{Spin up Anti-Teilchen}\\ \psi_4&=\exp(+i\omega_0t)\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow \text{Spin down Anti-Teilchen}\\ E_3&=E_4=-\hbar\omega_0=-mc^2 \;\;\text{Teilchen mit negativer Energie (Antiteilchen)} \end{align}

Jetzt zusätzliche Annahme: Kleine kinetische Energie:

E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\approx mc^2+\frac{p^2}{2m}

Jetzt Zeitabhängigkeit:

\psi(\vec r,t)=\exp(-i\omega_0t)\begin{pmatrix}\varphi(r,t)\\\chi(r,t)\end{pmatrix}

$\varphi(r,t), \chi(r,t)$ $t$ abhängig

\varphi,\chi\propto\exp(-i\omega't)\\ \hbar \omega '=\frac{p^2}{2m}<<mc^2=\hbar \omega_0

Einsetzen in Diracgleichung:

\hbar\omega_0\begin{pmatrix}\varphi\\\chi\end{pmatrix}+i\hbar\begin{pmatrix}\dot\varphi\\\dot\chi\end{pmatrix}=c\, \vec \sigma\cdot \hat{\vec p}\begin{pmatrix}\chi\\\varphi\end{pmatrix}+mc^2\begin{pmatrix}\varphi\\-\chi\end{pmatrix}\\ \hat{\vec p}\widehat{=}-i\hbar\nabla

$\chi$ :

i\hbar\dot\chi=\hbar\omega'\chi=c\vec \sigma\hat{\vec p}\varphi-2mc^2\chi

$\hbar \omega'<<\hbar \omega_0=mc^2$

\Rightarrow \chi\approx \frac{1}{2mc}(\vec\sigma\cdot \hat{\vec p})\varphi\ \ (*)\\ \vec \sigma\cdot \hat{\vec p}=\begin{pmatrix}\hat{p}_z&\hat{p}_x-i\hat{p}_y\\\hat{p}_x+i\hat{p}_y&-\hat{p}_z\end{pmatrix},\ (\vec \sigma\cdot \hat{\vec p})^2=\hat{\vec p}^2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Norm:

\chi^\dagger\chi=\underbrace{\frac{\frac{p^2}{2m}}{2mc^2}}_\text{sehr klein}\varphi^\dagger\varphi

$e^-$ $\Rightarrow\chi$ $\varphi$ groß

$\varphi$ :

i\hbar\dot \varphi=c\vec\sigma\cdot \hat{\vec p}\underbrace{\chi}_{(*)}\\ i\hbar\frac{\partial\varphi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\varphi\ \text{ SGL}