Vorlesung_48_20180125

11.6 Radioaktives Zerfallsgesetz

Änderung der Anzahl der Kerne durch Zerfall:

\frac{\text{d}N}{\text{d}t}\propto N\\ \frac{\text{d}N}{\text{d}t}=\lambda N\\ N(t)=N_0e^{-\lambda t}

Zerfallsrate:

R=\frac{\text{d}N}{\text{d}t}=\lambda N

Anwendung: Radiokarbonmethode zur Altersbestimmung

Bemerkung: Wird nicht über Aktivität sondern über Massenspektrometrie gemacht

$^{14}_6$ C entsteht in Atmosphäre durch kosmische Strahlung

\frac{\#^{14}_6\text C}{\#^{12}_6\text C}=1,3\cdot 10^{-12}

$^{14}_6$ $T_\frac 1 2=5730\,\text{a}$ $\text{a } \widehat{=}$ Jahr

$^{14}_6$ $\Rightarrow$ Altersbestimmungsmethode

Beispiel: $6\,$ $R=30\,\frac{1}{\text{min}}$

$M=12\,\frac{\text{g}}{\text{mol}}\Rightarrow n_C=\frac 1 2 \text{mol}$

$N_C=n_C\cdot N_A=3,01\cdot 10^{23}$

N_{^{14}_6\text C}=1,3\cdot 10^{-12}\cdot N_c=3,9\cdot 10^{11}=N_0\\ \lambda=\frac{\ln 2}{T_\frac 1 2}=\frac{\ln 2}{5730\,\text{a}\cdot 3,16\cdot 10^7\frac{\text{s}}{\text{a}}}=3,87\cdot 10^{-12}\frac{1}{\text{s}}\\ R=30\,\frac{1}{\text{min}}\cdot \frac{1}{60}\,\frac{\text{min}}{\text s}=\frac 1 2=3,8\cdot 10^{-12}\,\frac{N}{\text{s}}\Rightarrow N=1,31\cdot 10^{11}\\ N(t)=1,31\cdot 10^{11}=3,9\cdot 10^{11}e^{-\lambda t}\\ \Rightarrow t=2,86\cdot 10^{11}\,\text{s}\widehat{=}9000\,\text{Jahre}

11.7 Kernreaktion

^{10}_5\text B+^1_0n\rightarrow ^7_3\text{Li}+^4_2\text{He}

Massenbilanz:

Q=(10,012937\,\text{u}+1,008665\,\text{u}-7,016003\,\text{u}-4,002603\,\text{u})\cdot 931,5\,\frac{\text{MeV}}{\text{u}}\\=2,79\,\text{MeV}>0\Rightarrow \text{ exotherm}\\ ^7_3\text{Li}+^1_1\text{H}=^7_4\text{Be}+_0^1n\\ Q=-1,64\,\text{MeV}\Rightarrow \text{ endotherm}

11.7.1 Kernspaltung (Fission)

Ursache ist Coulomb-Abstoßung in schweren Kernen

Induzierte Kernspaltung

Uran 235

^{235}_{92}\text U+^1_0n\rightarrow ^{141}_{56}\text{Ba}+^{92}_{36}\text{Kr}+3\,^1_0n\\ ^{235}_{92}\text U+^1_0n\rightarrow ^{140}_{54}\text{Xe}+^{94}_{38}\text{Sr}+2\,^1_0n\\ ^{235}_{92}\text U+^1_0n\rightarrow ^{132}_{50}\text{Sn}+^{101}_{42}\text{Mo}+3\, ^1_0n

$+\gamma$ -Strahlung und kinetische Energie der Endprodukte vor allem schnelle Neutronen

$1\,\text{MeV}$ pro Nukleon Bindungsenergie

\Rightarrow A=240\rightarrow A=120

$200\,\text{MeV}$ Energie pro Spaltung

Wichtig: Kritische Masse und Anordnung

Kettenreaktion

$k$ : Mittlere Anzahl von Kernreaktionen die von einer Kernreaktion hervorgerufen wird

Berücksichtige:

Neutronen können absorbiert werden
Nur langsame Neutronen eignen sich für Neutroneneinfang

Wichtig: Moderator

Zum Beispiel: Schweres Wasser aus Tritium, weil kleiner Neutroneneinfang

$j$ Spaltungen:

E_j=E_0k^j

$k>1$ $\Rightarrow$ Atombombe

$k=1$ : Stabile Kettenreaktion (Reaktor)

$k<1$ : Exponentielles abklingen der Energie

11.7.2 Spaltreaktor

$k=1$ angestrebte

Kontrolle mit Neutronenabsorbern wie Bor oder Cadmium in Form von Steuerstäben

Problem: Natürliches Uran: 99,3% Uran 238 (absorbiert Neutronen, aber spaltet ungern)

Benötigt: Anreicherungsverfahren

Ablenkung von Ionen im Massenspektrometer (sehr ineffizient)
Hochgeschwindigkeitszentrifuge
Diffusionsgradienten durch poröse Materialien (Gas Uranhexafluorid)

Mindestens 3% Uran 235 für Reaktor mit Wasser (mit Tritium etwas weniger)

85% U235 für Atombombe

Moderator macht aus schnellen Neutronen langsame Neutronen

$\Rightarrow$ $\rightarrow ^{239}$ Pn (Plutonium)

$\Rightarrow$ Plutoniumreaktor

11.7.3 Kernfusion

Bem: Sonne, technisch verwendet 0.05% Deuterium im Meer.

Beispiel:

^2_1\text H+^1_1\text H\rightarrow ^3_2\text{He}+\gamma\\ 2,0141\,\text u+1,0038\,\text u\rightarrow 3,0160\,\text{u}\\ \text{Massendeffekt: }Q=5,48\,\text{MeV}>0\text{ exotherm}

In Sternen:

Proton-Proton-Zyklus:

\text{1.}:\ ^1_1\text H+^1_1\text H\rightarrow ^2_1\text H+^0_{+1}\beta^++\nu_e\\ Q=0,42\,\text{MeV}

$\Rightarrow$ langsam

\text{2.}:\ ^2_1\text H+^1_1\text H\rightarrow ^3_2\text{He}+\gamma,\ Q=5,48\,\text{MeV}\\ \text{3.}:\ ^3_2\text{He}+^3_2\text{He}\rightarrow ^4_2\text{He}+^1_1\text H+^1_1\text H,\ Q=12,9\,\text{MeV}\\ \sum=24,7\,\text{MeV}

$1.$ sehr langsam, daher häufiger Kohlenstoffzyklus (ohne schwache Wechselwirkung)

$\Rightarrow ^4_2\text{He}+^4_2\text{He}\rightleftharpoons^8_4\text{Be}\overset{^4_2\text{He}}{\rightleftharpoons}\ ^{12}_6\text C$

Bethe-Weizsäcker-Zyklus von Kohlenstoff in der Sonne:

$^{12}_6\text{C}+^1_1H\rightarrow ^{13}_7\text{N}$
$^{13}_7\text{N}\rightarrow ^{13}_6\text{C}+^0_{+1}\beta^++\nu_e$
$^{13}_6\text{C}+^1_1\text H\rightarrow ^{14}_7\text N$
$^{14}_7\text N+^1_1\text H\rightarrow ^{15} _8\text{O}$
$^{15} _8\text{O}\rightarrow ^{15} _7\text{N}+^0_{+1}\beta^++\nu_e$
$^{15} _7\text{N}+ ^1_1\text H\rightarrow ^{12}_6\text{C}+^4_2\text{He}$

Fusioniert:

4\times \text H\rightarrow 1\times \text{He}

$^{12}_6\text{C}$ wirkt wie Katalysator

$\Rightarrow$ Elemente bis Fe erzeugt

$\Rightarrow$ noch schwerere Elemente

Technische Anwendung:

Fusionsreaktor
Wasserstoffbombe

11.7.4 Fusionsreaktor

^2_1\text D+^2_1\text D\rightarrow \cases{^3_1\text T+^1_1\text H,\ Q=4\,\text{MeV}\\^3_2\text{He}+\underbrace{^1_0n}_\text{Wände für ca 100 Jahre radioaktiv},\ Q=3,3\,\text{MeV}}\\ ^2_1\text D+^3_1\text T\rightarrow ^4_2\text{He}+^1_0n,\ Q=17,6\,\text{MeV}

$d=2\,\text{fm}$

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r}=\frac 3 2k_bT\Rightarrow T=6\cdot 10^9\,\text{K}

$10^7\,\text{K}$ $\Rightarrow$ trotzdem verdampfen alle Materialien

Tokamak: Magnetischer Einschluss

$\Rightarrow$ axialer Einschluss

Trägheitseinschluss

https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsfusion

Beispiel: $158\,\text{l}$ $6\cdot 10^9\,\text{J}$

$18\,\text{u}$

\Rightarrow N_{H_2O}=\frac{\text{Dichte}\cdot \text{Volumen}}{\frac{\text{Masse}}{\text{Molekül}}}=5,3\cdot 10^{27}\\ \text{Deuterium: }0,05\%\Rightarrow N_\text{D}=1,6\cdot 10^{24}\\ \text{Gesamtenergie: }E=1,6\cdot 10^{24}\cdot 1,8\,\text{MeV}\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\,\frac{\text{J}}{\text{eV}}=4,6\cdot 10^11\text{J}\ \widehat{=}\ 70\text{-fache Energie von Rohöl}