Vorlesung_46_20180122

3 Faktoren: Starke Wechselwirkung, Coulomb Wechselwirkung, Ausschlussprinzip

Gesucht Modell für Bindungsenergie pro Nukleon:

$\Rightarrow$ nächste Nachbar

$\Rightarrow$ $\frac 1 2$ Bindung

$\Rightarrow$ $1$ Bindung

$\Rightarrow$ $\frac 6 4 = \frac 3 2$

$\Rightarrow$ Bindung pro Nukleon sättigt für große Anzahl von Nukleonen.

$\propto 4\pi r^2$

$\propto \frac 4 3 \pi r^3$

$\Rightarrow \frac O V\propto \frac 1 r$

d.h. Overfläche wir bei großen Kern vernachlässigbar zum Volumen und es ergibt sich eine konstante Bindungsenergie pro Nukleon.

Bei großen Kernen ist starke Wechselwirkung nur zwischen Nachbarn, Coulomb Wechselwirkung aber zwischen allen Protonen

Protonen und Neutronen folgen unabhängig dem Auschlussprinzip (Coulomb vernachlässigt), Neutron, Proton erst paaren mit gleichem Spin.

$A\Rightarrow Z=N$ optimal

$\Rightarrow$ Unkompensierte Coulomb Abstoßung

$N>Z$ $N$ ist "Klebstoff"

Um Bindungsenergie zu bestimmen kann man Masse pro Kern heranziehen

$m_n>m_p\Rightarrow$ Neutron ist instabil!

Im Kern stabil:

E_\text{Bind}=(m_\text{Ende}-m_\text{Anfang})c^2=2,22\,\text{MeV}>0

d.h Deuterium stabil

$1,11\,\text{MeV}$

$\Rightarrow 2,22\,\text{MeV}$ ist benötigte Energie um Deuterium zu spalten

$\Rightarrow$ Kernspaltung setzt keine Energie frei, sonder nur der umgekehrte Prozess die Fusion in diesem Fall.

Allgemeine für alle Kerne:

E_\text{Bind}=\left(Z\cdot \underbrace{m_\text{H}}_\text{Masse Wasserstoff ($p^++e^-$)}+N\cdot \underbrace{m_n}_\text{Masse Neutron}-\underbrace{M_{^A_ZX}}_\text{Masse Atome X}\right)\cdot c^2

Beispiel: $^{56}_{26}$ $\Rightarrow A-Z=N=30=56-26$

\begin{align} m&=55,934939\,\text{u}\\ E_\text{Bind}&=\left(26\cdot 1,007825\,\text{u}+30\cdot 1,008665\,\text{u}-55,934939\,\text{u}\right)\cdot c^2\\ &=(0,528461\,\text{u})c^2=(0,528461\,\text{u})\frac{931,5\,\text{MeV}}{\text{u}}=492,3\,\text{MeV} \end{align}

Bindungsenergie pro Nukleon:

\frac{492,3\,\text{MeV}}{56}=8,8\,\text{MeV}

$8,8\,\text{MeV}$ um Eisen in Bestandteile zu zerlegen

Volumenterm
$\propto C_1A$ $A\propto V$
Oberflächenterm (Sättigung von starker Wechselwirkung)
$A^\frac 2 3 \propto r^2 \propto$ $-C_2A^\frac 2 3$
Coulomb Term
$\propto \frac{e^2}{r}\Rightarrow r\propto\, ^3\sqrt V= V^\frac 1 3= A^\frac 1 3$
$Z$ $\Rightarrow \frac{Z(Z-1)}{2}$ Paare
$-C_3Z(Z-1)A^{-\frac 1 3}$
Asymmetrie Term (Ohne Coulomb)