Vorlesung_44_20180118

Besetzungszahlwahrscheinlichkeit:

\mathcal{N}(E=E_F)_{FD}=\frac{1}{2}\\ \mathcal{N}(E)_{FD}=\frac{1}{e^{\alpha+\frac{E}{k_BT}}+1}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow \alpha=-\frac{E_F}{k_BT}\\ \Rightarrow \mathcal{N}(E)_{FD}=\frac{1}{e^{\frac{E-E_F}{k_BT}}+1}

$E_F$ $\Rightarrow E_F=\mu$ $\alpha =-\frac{\mu}{k_BT}$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ QM

Modell: 3D unendlich tiefer Potentialtopf

E_{n_x,n_y,n_z}=\left(n_x^2+n_y^2+n_z^2 \right)\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}

n=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}\\ E=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}n^2\\ n=\sqrt{\frac{2mL^2E}{\pi^2\hbar^2}}

Kugelschale im Oktant mit dicke dn

D(E)=\frac 1 8 4\pi n^2\frac{\text{d}n}{\text{d} E}=\frac{m^\frac{3}{2}L^3\overbrace{(2s+1)}^\text{Spin}}{\sqrt 2 \pi^2\hbar^3}E^\frac{1}{2}\overset{V=L^3}=\frac{m^\frac{3}{2}V(2s+1)}{\sqrt 2 \pi^2\hbar^3}\sqrt E

Mittlere Energie:

\bar E\cong \underbrace{\frac{3}{2}k_BT}_\text{klassisch}\left(1 \underbrace{\overbrace{\mp}^\text{Bosonen}}_\text{Fermionen} \frac{\sqrt{ 2 }\,\pi^3\hbar^3}{\left(2\pi mk_BT \right) ^\frac{3}{2}(2s+1)}\left(\frac{N}{V}\right)^1+\dots\right)

$N/V$ $\bar E$ $\bar E$ .

\bar v= \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}\\ \lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}=\frac{h}{m\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}}\propto \frac{h}{\sqrt{{k_BTm}}}

Abstand zwischen Teilchen:

d\propto \left( \frac{V}{N}\right)^\frac{1}{3}

Nicht klassischer Term:

\left( \frac{N}{V}\right)\propto\left(\frac{\lambda}{d}\right)^3

$\lambda$ $d$ $\Rightarrow$ Quanteneigenschaften wichtig

$\Rightarrow$ Wellenfunktionen überlappen

$\Rightarrow$ $\varphi=U_0-E_F$

Durch Heizen weicht Fermikante auf, so dass Elektronen austreten.

Durch Feld kann auch über Tunneleffekt Elektronen-emission erfolgen.

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Makroskopische Wellenfunktionen

$\Rightarrow$ Viskosität und Widerstand

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Springbrunneneffekt bei Suprafluidem Helium 2

$N$ ist nicht konstant, denn Photonen können im Gleichgewicht von Atomen absorbiert und emittiert werden, aber

\frac{\partial S}{\partial N}= \alpha =0

$\Rightarrow$ wahrscheinlichster Zustand

e^\alpha=1\\ \frac{\text{d}n}{\text{d}f}=D(f)=\frac{8\pi V}{c^3}f^2\\ f=\frac{E}{h}\\ \text{d}f=\frac{\text{d}E}{h}\Rightarrow \text{d}E=h\text{d}f\\ \frac{\text{d}n}{\text{d}E}=\frac{dn}{df}\frac{df}{dE}=D(E)=\frac{8\pi V}{h^3c^3}E^2\\ \mathcal{N}(E)_\text{Photon}=\frac{1}{e^{\frac{E}{k_BT}}-1}\frac{8\pi V}{h^3c^3}E^2\\

$U_\text{Photon}=\int_0^\infty E\mathcal{N}(E)\text{d}E=\frac{8\pi^5Vk_B^4T^4}{15h^3c^3}$

$U_\text{photon}$ $300\,\text{K}=6,1\cdot 10^{-9}\frac{\text{J}}{\text{m}^3}V$

$V$

$300\,\text{K}$

U=N\cdot \frac{3}{2}k_BT=\frac{3}{2}PV=\frac{3}{2}(1,013\cdot 10^5 \text{Pa})V=\frac{1}{4}\cdot 10^{11}U_\text{Photon}