Vorlesung_43_20180118

Beispiel: $300\,$ $\Rightarrow$ Boltzmann ok!

\text{Zahl der Teilchen mit Energie }E=\left( \bar N\text{: Zahl der Teilchen im Energiezustand}\right)\cdot \left(\text{Entartung}\right)

\frac{\bar N(E_2)\cdot \text{#Entartung}(E_2)}{\bar N(E_1)\cdot \text{#Entartung}(E_1)}=?

Entartung ohne Spin-Bahn-Kopplung:

\underbrace2_\text{Spin}\cdot \underbrace{n^2}_{\ell,m_\ell}\Rightarrow E_2\text{ hat } 8\text{ Zustände und } E_1\text{ hat } 2\text{ Zustände}\\ x=\frac{\bar N(E_2)\cdot 8}{\bar N (E_1)\cdot 2}=\frac{4\cancel{NA}e^{-\frac{E_2}{k_BT}}}{\cancel{NA}e^{-\frac{E_1}{k_BT}}}=4\cdot e^{-\frac{E_2-E_1}{k_BT}}\\ E_n=-\frac{13,6\,\text{eV}}{n^2}\Rightarrow E_2-E_1=-13,6\,\text{eV}\cdot\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{1^2}\right)=-10,2\,\text{eV}\\ 300\,\text{K}\Rightarrow k_BT=1,38\cdot 10^{-23}{\text{J}/\text{K}}\cdot 300\,\text{K}=4,14\cdot 10^{-21}\,\text{J}=0,0259\,\text{eV}\\ x=4e^{-10,2/0,0259}\approx 10^{-171}

\bar E= \frac{\sum_n E_n\bar N(E_n)}{\sum_n \bar N(E_n)}=\frac{\sum_nE_nNAe^{-\frac{E_n}{k_BT}}}{\sum_nNAe^{-\frac{E_n}{k_BT}}}=\frac{\sum_{E_n}E_n\bar N(E_n)\cdot \text{#Entartung}}{\sum_{E_n}\bar N(E_n)\cdot \text{#Entartung}} \;\;\text{(i)}

$E_{n+1}-E_n<< k_BT\Rightarrow$ Annahme Kontinuierliche Verteilung

$E$ $E+\text{d}E$ $\text{d}E$ $D(E)$

\Rightarrow \bar E=\frac{\int E\bar N(E)D(E) \text{d}E}{\int \bar N(E)D(E)\text{d}E}

Beispiel: Harmonischer Oszillator

E_n=\hbar \omega_0 \left(n+\frac{1}{2}\right)\Rightarrow\text{Wir setzen Energienullpunkt: }\frac{1}{2}\hbar \omega_0\\ \Rightarrow E=n\hbar \omega_0\\ \frac{\text{d}E}{\text{d}n}=\hbar \omega_0\Rightarrow \text{d}n=\frac{1}{\hbar\omega_0}\text{d}E\\ D(E)=\frac{\text{d}n}{\text{d}E}=\frac{1}{\hbar\omega_0}\\ \bar E=\frac{\int E NAe^{-\frac{E}{k_BT}}\frac{1}{\hbar\omega_0}\text{d}E}{\int NAe^{-\frac{E}{k_BT}}\frac{1}{\hbar\omega_0}\text{d}E}=k_BT

Ergebnis von (i) mittels exakter Summation:

\bar E=\frac{\hbar \omega _0}{e^{\frac{\hbar\omega_0}{k_BT}}-1}

$e^{+x}\simeq 1+x+\dots$

Beispiel: $a,b,c,d$

$E_i=n_i\hbar\omega_0$ $n_i=0,1,2,3,\dots$

\delta E = \hbar \omega_0\\ E_\text{ges}=2\delta E=\sum_iE_i\Rightarrow \sum_in_i=2

$n$ Quantenzahl	Anordnung										#Auftreten der Quantenzahl	$P$	$P\cdot 4$
2	a	b	c	d							4	$0,1=\frac{2}{40}$	0,4
1					ab	ac	ad	bc	bd	cd	12	$0,3=\frac{12}{40}$	1,2
0	bcd	acd	abd	abc	cd	bd	bc	ad	ac	ab	24	$0,6=\frac{24}{40}$	2,4
											$\sum$ =40	$\sum$ =1	$\sum$ =4

Ununterscheidbar: XXXX

$n$	Anordnung		$n$	$P$
2	X		1	$\frac{1}{8}$
1		XX	2	$\frac{2}{8}$
0	XXX	XX	5	$\frac{5}{8}$
			$\sum$ =8	$\sum$ =1

$s=\frac{1}{2}$

$n$		Anordnung	$n$	$P$
2	$\xcancel{\uparrow}$			0
1		$\uparrow\downarrow$	2	0,5
0	$\xcancel{\uparrow\downarrow\uparrow}$	$\uparrow \downarrow$	2	0,5
	$\huge\unicode{x21af}$		$\sum$ =4

Zusammenfassung:

$\Rightarrow$ $\bar n_i <1$ $\Rightarrow$ egal ob Bosonen, Fermion oder klassisches Teilchen

$\Rightarrow$ Bosonen sammeln sich im Einteilchenzustand der geringsten Energie

$\Rightarrow$ Fermi-Energie