Vorlesung_42_20180115

\frac{\partial \ln(W(N,E))}{\partial N}=\frac{\partial ({S/k_B})}{\partial N}=\alpha \underbrace{=-\frac{\mu}{k_bT}=-\frac{E_F}{k_BT}}_{\text{wird später gezeigt}}\\ \mu:=\text{ chemisches Potential}\\ \frac{\partial \ln(W(N,E))}{\partial E}=\frac{\partial ({S/k_B})}{\partial E}=\frac{1}{k_BT}\\ \Rightarrow \ln\left(W(N-N_n,E-E_nN_n) \right)\approx\ln\left( W(N,E)\right)-\left(\left[\alpha +\frac{E_n}{k_bT} \right]N_n\right)\\ \text{exponentieren}\Rightarrow W(N-N_n,E-E_nN_n)=W(N,E)e^{-\alpha N_n-\frac{E_nN_n}{k_BT}}\\

mittlere Zahl der Teilchen im Zustand n (Besetzungszahl )

\overline{N(E_n)}=\frac{\sum_{N_n}N_n\cancel{W(E,N)}e^{-\alpha N_n-\frac{E_nN_n}{k_BT}}}{\sum_{N_n}\cancel{W(E,N)}e^{-\alpha N_n-\frac{E_nN_n}{k_BT}}}

$\Rightarrow \overline{N(E_n)}$ unabhängig von System.

Es gilt:

f(x)=\ln(g(x))\\ f'(x)=\frac{g^\prime(x)}{g(x)}

Hier:

f(x)=\sum_{N_n}e^{-\alpha N_n-\frac{E_nN_n}{k_BT}}\\ \frac{\partial f(x)}{\partial \alpha }=-N_nf(x)\\\Rightarrow \overline{N(E_n)}=-\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left(\sum_{N_n}e^{-\alpha N_n-\frac{E_nN_n}{k_BT}}\right )

$0$ $\infty$

\sum_{N_n=0}^\infty Z^{N_n},\text{ mit }Z=e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}

Geometrische Reihe:

\sum_{m=0}^\infty Z^m=\frac{1}{1-Z}\text{, wenn }\left|Z\right|<1

mittlere Zahl der Teilchen im Zustand n

\overline{N(E_n)}_{BE}=-\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left(\sum_{N_n=0}^\infty\left(e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}\right)^{N_n}\right )=-\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left(\frac{1}{1-e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}}\right)\\=\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left(1-e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}\right)=\frac{1}{e^{\alpha +\frac{E_n}{k_BT}}-1}

$N_n\in\{0,1\}$

\overline{N(E_n)}_{FD}=-\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left(\sum_{N_n=0}^1\left(e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}\right)^{N_n}\right )=\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left(1+e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}\right)=\frac{1}{e^{\alpha +\frac{E_n}{k_BT}}+1}

$\Rightarrow$ $N$ $N_n$ $N$ $N-1$ $N-N_n$ $\frac{N!}{N_n}$ $N_n$ geändert wird:

\Rightarrow \overline{N(E_n)}_\text{Boltzmann}=\frac{\sum_{N_n}\frac{\cancel{N!}}{N_n!}N_ne^{-\alpha N_n-\frac{E_nN_n}{k_BT}}}{\sum_{N_n}\frac{\cancel{N!}}{N_n!}e^{-\alpha N_n-\frac{E_nN_n}{k_BT}}}=-\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left( \sum_{N_n}\frac{\left(e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}\right)^{N_n}}{N_n!} \right )\\ \sum_{m=0}^\infty \frac{Z^m}{m!}=e^Z\\ Z=e^{-\alpha-\frac{E_n}{k_BT}}

\overline{N(E_n)}_\text{Boltzmann}=-\frac{\partial }{\partial \alpha }\ln\left( e^{\left(e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}\right)} \right )=-\frac{\partial }{\partial \alpha }e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}=\frac{1}{e^{+\alpha +\frac{E_n}{k_BT}}}=e^{-\alpha -\frac{E_n}{k_BT}}\\ \frac{e^{-\alpha}}{N}=A\Rightarrow P(E_n)=A\cdot e^{-\frac{E_n}{k_BT}}\\ \text{Normierung: }\sum_n P(E_n)=1\Rightarrow A=\frac{1}{\sum_ne^{ -\frac{E_n}{k_BT}}}\\ \boxed{P(E_n)=\frac{e^{-\frac{E_n}{k_BT}}}{\sum_ne^{ -\frac{E_n}{k_BT}}}}

\bar E= \sum_nE_nP(E_n)=\frac{\sum_nE_ne^{-\frac{E_n}{k_BT}}}{\sum_ne^{ -\frac{E_n}{k_BT}}}

$E_n=n\hbar \omega_0$

\bar E=\frac{\hbar\omega_0}{e^\frac{\hbar\omega_0}{k_BT}-1}\\ \bar{N}(E_n)=N\cdot A\cdot e^{-\frac{E_n}{k_BT}}

Folien Verteilungsfunktionen

wichtig De Broglie Wellenlänge bei hohen T so klein, dass Fermionen und Bosonen wie unterscheidbare Teilchen sind, weil kein Überlapp.

todo mit mathematica: