Vorlesung_41_20180115

9. Klassische Gase und Quanten Gase

Zur Statistik von Gasen:

$N$ $N_R$ Moleküle rechts sind:

W_{N_R}^N=\binom{N}{N_R}=\frac{N!}{N_R!(N-N_R)!}

Entropie:

S=k_B\ln(W)

$W$ $\Rightarrow$ $S$ ist maximal

Temperatur:

im Gleichgewicht:

T_1=T_2

Gesamte Entropie:

\begin{align} \text{d}S_\text{ges}&=\text{d}S_1+\text{d}S_2\\ \text{d}S_\text{ges}&=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_1\cdot E_1+\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_2\cdot E_2 \end{align}

Die von System 1 verlorene Energie wird von System 2 aufgenommen:

\text{d}E_1=-\text{d}E_2\\ \text{d}S_\text{ges}=\left[\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_2-\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_1\right]\cdot E_2

Im Gleichgewicht: Entropie maximal

\Rightarrow \text{d}S_\text{ges}=0\\ \Rightarrow \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_2=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_1

Analog

T_1=T_2\\\Rightarrow \frac{\partial S}{\partial E}=\frac{1}{T}

Unter Austausch von Energie erreichen eine große Zahl von identischer Teilchen Gleichgewicht.

Bosonen, Fermionen und klassische Teilchen haben unterschiedliche Verteilungen

Energieaustausch?

Beispiel: Harmonischer Oszillator

E_n=\hbar \omega \left(n+\frac{1}{2} \right)

Nullpunkt verschieben so dass wir schreiben können

\Rightarrow E=n_i\hbar \omega_0,\ i=0,\dots , N

Gesamtenergie:

E=\underbrace{\sum_{i=1}^N n_i}_{=M}\hbar\omega_0=M\hbar\omega_0

$N$ Oszillatoren verteilen?

$a$ zu erhalten:

P_a=\frac{\text{# Untermenge }a}{\text{Gesamtanzahl}}\\ P_{n_i}=\frac{\text{Anzahl der Möglichkeiten Energie }E\text{ bei festen }n_i\text{ zu erhalten (i)}}{\text{Gesamtzahl der Möglichkeiten Energie }E\text{ zu erhalten (ii)}}

Zu (ii)

Beispiel: $N=9,\ M=5$

	$n_1$	$n_2$	$n_3$	$n_4$	$n_5$	$n_6$	$n_7$	$n_8$	$n_9$
$A$	3	0	1	0	0	0	1	0	0
$B$	0	2	0	0	0	1	0	0	2

\begin{align} A\widehat{=}&XXXIIXIIIIXII,\ \#X: 5=M\\ B\widehat{=}&IXXIIIIXIIIXX,\ \#I:8=N-1 \end{align}

Anzahl der Slots: 5+8=M+N-1

Anzahl der Möglichkeiten:

(ii)=\binom{M+N-1}{M}=\frac{(M+N-1)!}{\underbrace{M!}_{\text{Umordnung der}X}\ \underbrace{(N-1)!}_{\text{Umodnung der }I}}\\

$n_i$ $n_i$ $M-n_i$ :

(i)\text{ Analog: }\binom{(M-n_i)+(N-1)-1}{M-n_i}\\ P_{n_i}=\frac{\binom{(M-n_i)+(N-1)-1}{M-n_i} }{\binom{M+N-1}{M}}

Beispiel: $N=10,\ M=50$

\Rightarrow \bar E=\frac{E}{N}=\frac{M\hbar\omega_0 }{N}=5\hbar \omega_0

Siehe Buch Anhang H: Allgemeine Herleitung für Systeme mit beliebigem Potential (nicht nur harmonischer Oszillator):

$N$

Energieverteilung

W(N,E)=\text{Anzahl der Zustände mit }N \text{ Teilchen und Energie }E\\ N_n:\text{Anzahl der Teilchen in Zustand }n\\

$N_n$ $n$ $E$ $N$ Teilchen hat:

P(N_n)=\frac{W(N-N_n,E-E_nN_n)}{\sum_{N_n}W(N-N_n,E-E_nN_n)}

$n$ :

\bar N_n=\sum_{N_n}P(N_n)\cdot N_n=\frac{\sum_{N_n} N_nW(N-N_n,E-E_nN_n)}{\sum_{N_n}W(N-N_n,E-E_nN_n)}

$N_n$ $N$ $\Rightarrow$ Taylorentwicklung

f(a(x),b(x))=f(a(0),b(0))+\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(f(a(x),b(x)) \right)|_{x_0}\cdot x +\dots x^2+\dots\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(f(a(x),b(x)) \right)|_{x=x_0}=\left(\frac{\partial f}{\partial a}\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial b}\frac{\partial b}{\partial x}\right) \bigg|_{x=0}\\ \text{Da }(X-x)!\approx X!e^{-x\ln{X}}

Taylorentwicklung schlecht

\Rightarrow f= \ln\left(W(a(N_n),b(N_n)) \right)\\ x\rightarrow N_n \text{ klein}\\ X\rightarrow N\\ a(N_n)=N-N_n\\ b(N_n)=E-E_nN_n\\ \ln\left(W(a(N_n),b(N_n)) \right)\approx \ln\left( W(N,E)\right)+\left[\frac{\partial ln[W(N,E)]}{\partial N} (-1)+\frac{\partial ln[W(N,E)]}{\partial E}(-E_n)\right]\cdot N_n