Vorlesung_40_20180111

Beispiel: $B_\text{ext}=0,05\,$ $<0,3\,$ ✔ $1s\rightarrow 2p$ Übergang ?

$\Rightarrow$ $\vec B$ $\Rightarrow$ Zeeman Effekt

$n \ell_j$

a):

1s_{1/2},\ j=\frac{1}{2}\Rightarrow m_j=\pm\frac{1}{2},\ s=\frac{1}{2},\ \ell=0

b):

2p_{3/2},\ j=\frac{3}{2}\Rightarrow m_j=\pm\frac{3}{2},\pm\frac{1}{2},\ s=\frac{1}{2},\ \ell = 1\\ g_{\text{Landé}}(1s_{1/2})=2,\ g_{\text{Landé}}(2p_{3/2})=\frac{4}{3}\\ U_{1s_{1/2}}=\pm\frac{1}{2}5,8 \cdot 10^{-6}\,\text{eV}\\ U_{2p_{3/2}}=\begin{Bmatrix}\pm \frac{1}{2}\\\pm\frac{3}{2} \end{Bmatrix}3,9\cdot 10^{-6}\,\text{eV}

\Delta E=\left( E_{2p_{3/2}}+\frac{e}{2m_e}\frac{4}{3}\begin{Bmatrix}\pm\frac{3}{2}\\\pm \frac{1}{2} \end{Bmatrix}\hbar B_\text{ext}\right)-\left(E_{1s_{1/2}}+\frac{e}{2m_e}2\begin{Bmatrix}\pm \frac{1}{2} \end{Bmatrix}\hbar B_\text{ext} \right)

Wegen Auswahregeln

\Delta E=\left( E_{2p_{3/2}}-E_{1s_{1/2}}\right)+\frac{e}{2m_e}\begin{Bmatrix}\pm \frac{5}{2}\\\pm\frac{3}{2}\\\pm\frac{1}{2} \end{Bmatrix}\hbar B_\text{ext}

8.8.2 Starke Felder: Paschen-Back-Regime

$B_\text{ext} >>0,3\,$ T

$B_\text{ext}$ $\Rightarrow$ $\vec L$ $\vec S$ $\vec B$

U_L=-\vec \mu_L\cdot \vec B_\text{ext}=-\mu_{L_z}\cdot B_\text{ext}=-\left(-\frac{e}{2m_e}L_z\right) B_\text{ext}=\frac{e}{2m_e}m_\ell\cdot \hbar B_\text{ext}\\ U_s=-\vec \mu_s\cdot \vec B_\text{ext}=-\mu_{s_z} B_\text{ext}=-\left(-\frac{e}{m_e}S_z\right) B_\text{ext}=\frac{e}{m_e}\hbar m_s B_\text{ext}\\ \Rightarrow E=E_0+\frac{e}{2m_e}\left(m_\ell+2m_s\right)\hbar B_\text{ext}

8.9 Anregungsspektren für leichte Atome mit mehreren Elektronen

8.9.1 Addition zum Gesamtspin

$\vec L$ $\vec S$ $\vec J$ $\left|J\right| = \sqrt{j(j+1)}\hbar$ $j\in\{\ell+s,\dots,\left|\ell-s\right|\}$

S_\text{Total}=\sqrt{s_T(s_T+1)}\hbar,\ s_T=s+s,s+s-1\dots,\left|s-s\right|

$1/2$ $s_T\in\{1,0\}$

m_{s_T}\text{ für } s_T=1, m_{s_T}=\pm 1,0

Spin-Triplett

Triplett Zustand

S_{T_Z}=+\hbar

$s_1$ $s_2$ $\Rightarrow \uparrow\uparrow$

$S_{T_z}=-\hbar$ $s_1$ $s_2$ $\Rightarrow \downarrow\downarrow$

$S_{T_z}=0$ $s_1$ $s_2$ nach unten und nach oben

$\uparrow\downarrow$ ?

Nein! Denn nicht ist asymmetrisch unter Teilchenaustausch!

$\Rightarrow \uparrow\downarrow+\downarrow \uparrow$

$\Rightarrow$ antisymmetrische Ortswellenfunktion

Singulett Zustände:

$S_{T_z}=0$

$s_1$ $s_2$ $\Rightarrow \uparrow\downarrow-\downarrow \uparrow$

$\Rightarrow$ symmetrische Ortswellenfunktion

LS-Kopplung (leichte Atome)

$L_T$
$S_T$ aufgrund Fermi-Dirac-Statistik
$L_T$ $S_T$ $J_T$

Beispiel: $e^-$ $e^-$ $2p$ $1s$

2p\Rightarrow \ell_2=1\\ 1s\Rightarrow \ell_1=0\\ \Rightarrow \ell_T=\ell_1+\ell_2,\dots,\left|\ell_2-\ell_1\right|=1\\

$S_T$ kann Singulett oder Triplett sein

\Rightarrow s_T\in\left\{\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \right\}\\ s_T\in\{1,0\}

$J_T$

j_T\in\{\ell_T+s_T,\dots,\left|\ell_T-s_t\right|\}

$s_T=0\Rightarrow j_t=1$

$s_T=1\Rightarrow j_T=2,1,0$

Schreibweise:

n^{2\cdot s_T+1}{\ell_T}_{j_T}

$\ell_T=1,\ s_T=0,\ j_T=1$

2^1P_1

$\ell_T=1,\ s_T=1,\ j_T=1$

2^3P_1

Grundzustand ist Singulet-Zustand:

1^1S_0

$1^3S_1$ nicht möglich, da bei symmetrischer Spin-Wellenfunktion die Ortswellenfunktion antisymmetrisch sein muss, damit die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch ist. Eine antisymmetrische Ortswellenfunktion kann man jedoch nicht aus dem Grundzustand konstruieren:

$n=1$ $\ell_1=\ell_2=n-1=0$ $\Psi_1(x_1)\Psi_1(x_2)-\Psi_1(x_2)\Psi_1(x_1)=0$

Auswahlregeln:

\begin{align} \Delta \ell_T&=\pm1\\ \Delta s_T&=0\\ \Delta j_T &=0,\pm1 \end{align}

$\Delta \ell_T=0$ geht nicht, da Dipoloperator ungerader operator ist und sich daher die Parität der Orts--Wellenfunktion ändern muss.

$j_T=0$ $\Delta j_T=0$ verboten.