Vorlesung_39_20180111

$e^-$ $e^-$ eine positive Ladung vom Kern, das dieses umkreist.

$\Rightarrow Ze^+$ erzeugt Magnetfeld

$\vec B$ -Feld

U=-\vec \mu\cdot \vec B=-\vec\mu_\text{Spin}\cdot \vec B_\text{Umlauf}

$\vec B$ -Feld im Zentrum einer stromdurchflossenen Leiterschleife mit Radius r

B=\frac{\mu_0\cdot I}{2r}

$Ze$ $Z=1$

I=\frac{e}{T}=\frac{e}{2\pi\frac{r}{v}}=\frac{e}{2\pi r}v\cdot \frac{m_e}{m_e}=\frac{e}{2\pi m_er^2}\underbrace{m_evr}_{=L}=\frac{e}{2\pi m_er^2}\cdot L

\Rightarrow \vec B=\frac{\mu_0I}{2r}=\frac{\mu_0}{2r}\frac{e}{2\pi m_er^2}\cdot L=\frac{\mu_0e}{4\pi m_er^3}\cdot \vec L\\ \mu_s=-\frac{e}{m_e}\vec S\\ \Rightarrow U=-\vec \mu_s\cdot \vec B=-\left( -\frac{e}{m_e}\vec S\right)\cdot \left( \frac{\mu_0e}{4\pi m_er^3}\cdot \vec L\right)=\frac{\mu_0e^2}{4\pi m_e^2r^3}\vec S\cdot \vec L

$U>0$ $\vec S$ $\vec B$ in die gleiche Richtung zeigen

$U<0$ , sonst

Für 2p:

L=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar=\sqrt 2\hbar\\ r=n^2a_0=4a_0\\ \Rightarrow B\approx 0,3\,\text{T}\\ \mu_{S_z}=\frac{e}{m_e}S_z=\frac{e}{m_e}\frac{1}{2}\hbar=9,3\cdot 10^{-24 }\,\text{Am}^2\\ \Rightarrow U\approx 2\cdot 10^{-5}\,\text{eV}

Feinstrukturaufspaltung

$\Rightarrow$ Addition von Drehimpulsen

$S$ $L$ sind durch Spin-Bahn-Wechselwirkung wechselseitig gekoppelt

$B<0,3\,$ T)

Spin-Bahn-Wechselwirkung dominiert

$\Rightarrow$ Quantisierung der Summe

J=L+S

$J$ : Gesamtdrehimpuls

\left|S \right|=\sqrt{s(s+1)}\hbar\\ \left| L\right|=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar\\ \left|J\right| = \sqrt{j(j+1)}\hbar

$L$ $\Rightarrow$ $\vartheta$ quantisiert ist

$\vec S$ $\vec L$ $2S+1$ $\vec{L}$ .

$\vec J$ $\vec B$ $\vec{B}$

\left|J\right|=\sqrt{j(j+1)}\hbar,\ \ j=\left|\ell-s\right|,\left|\ell-s+1\right|,\dots\ell+s \;\;\;\;\;\;J_z=m_j\hbar, m_j=-j,-j+1,\dots, j

$e^-\Rightarrow s=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow j=\ell\pm\frac{1}{2}$

$\vec S$ $\vec L$ parallel sein.

$\vec L$ $\vec S$ $\huge\unicode{x21af}$ .

Es gilt:

\left|J_\text{max}\right|=\sqrt{(\ell+s)(\ell+s+1)}\hbar

$\vec L\parallel \vec S$ wäre, gilt

\vec L+\vec S=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar+ \sqrt{s(s+1)}\hbar

Vergleich:

J_\text{max}^2=(\ell^2+\ell +s^2+s+2\ell s)\hbar^2\\ (L+S)^2=(\ell^2+\ell +s^2+s+2\sqrt{\ell^2s^2+\ell^2s+\ell s^2+ls})\hbar^2\\ \Rightarrow J_\text{max} < L+S\Rightarrow \vec S \parallel \vec L\huge\unicode{x21af}

$J_\text{min}$ :

\text{Falls }S< L\\ J_\text{min}=\sqrt{(\ell-s)(\ell-s+1)}\hbar\\ L-S=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar-\sqrt{s(s+1)}\hbar\\ J_\text{min}^2=(\ell^2+\ell+s^2-s-2\ell s)\hbar^2\\ (L-S)^2=(\ell^2+\ell+s^2-s-2\sqrt{\ell^2s^2+\ell^2s+\ell s^2+\ell s})\hbar^2\\ \Rightarrow J_\text{min}^2>\left|\vec L- \vec S\right|^2\huge\unicode{x21af}

$L<S$ ....

Bemerkung: $B>0,3\,$ $\vec L$ $\vec S$ $m_j$ $m_\ell$ $m_s$ sind gute Quantenzahlen

$\ell=3,\ s=\frac{1}{2}$

$B>0,3\,$ T)

\#m_\ell=2\ell+1=7\\ \#m_s=2\\ \Rightarrow 2(2\cdot \ell+1)=14

$(B<0,3T)$

j_\text{max}=\ell+s=\frac{7}{2}\\ m_j=-\frac{7}{2},-\frac{5}{2},\dots ,\frac{7}{2}\Rightarrow \ \#m_j=8\\ j_\text{min}=\left|\ell -s\right|=\frac{5}{2}\Rightarrow m_j=-\frac{5}{2},-\frac{3}{2},\dots,\frac{5}{2}\\ \#m_j=6\\ \Rightarrow \sum=14\text{ Zustände}

$B<0,3\,$ T

$\vec B$ $\vec L$ $\vec S$ $\Rightarrow \mu_s$ $\mu_\ell$ $\mu_j$

\vec\mu_\ell=-\frac{e}{2m_e}\vec L\\ \vec\mu_s=-\frac{e}{m_e}\vec S\\ \vec \mu_j=\vec \mu_\ell+\vec\mu_s=-\frac{e}{2m_e}\left(\vec L+2\vec S\right)

\bar \mu_j=\mu_j\cdot \cos(\alpha)\\\alpha=\sphericalangle\vec\mu_j,-\vec J\\\Rightarrow \vec \mu_j\cdot (-\vec J)=\cos(\alpha)\cdot \mu_j\cdot J\\\Rightarrow \bar \mu_j=\mu_j\frac{-\vec\mu_j\cdot \vec J}{\mu_j\cdot J}=-\frac{\vec\mu_j\cdot \vec J}{J}\\ \Rightarrow \bar\mu_j=\frac{e}{2m_e}\frac{(\vec L+2\vec S)(\vec L+\vec S)}{J}=\frac{e}{2m_e}\frac{(L^2+2S^2+3\vec L\cdot \vec S)}{J}\\ J^2=L^2+S^2+2\vec L\cdot \vec S\\ \Rightarrow \vec L\cdot \vec S=\frac{J^2}{2}-\frac{L^2}{2}-\frac{S^2}{2}\\ \Rightarrow \bar \mu_j=\frac{e}{2m_e}\frac{2L^2+4S^2+6\vec L\cdot \vec S}{2J}=\frac{e}{2m_e}\frac{3J^2-L^2+S^2}{2J}=\frac{e}{2m_e}\frac{3j(j+1)- \ell(\ell+1)+s(s+1)}{2\sqrt{j(j+1)}}\hbar

$\vec{\bar{\mu_j}}$ $\vec J$

Wechselwirkungsenergie:

\begin{align} U&=-\vec {\bar\mu_j}\cdot \vec B_\text{ext}=-\bar\mu_j\cdot B_\text{ext}\cdot \cos(180 + \vartheta)\\ &=\bar\mu_j\cdot B_\text{ext}\frac{J_z}{J}=\bar\mu_j\cdot B_\text{ext}\frac{J_z}{\sqrt{j(j+1)}\hbar}=g_\text{Landé}\frac{e}{2m_e}\cdot B_\text{ext}\cdot J_z\\ g_\text{Landé}&=\frac{3j(j+1)- \ell(\ell+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}\\ U&=g_\text{Landé}\frac{e}{2m_e} m_j\hbar\cdot B_\text{ext} \end{align}

$\#m_j=2j+1$ Zustände