Vorlesung_37_20180108

Verschränkte Zustände

Letzte Stunde:

Zweiteilchen Wellenfunktionen für ununterscheidbare Teilchen:

\text{symmetrisch: }\Psi_S(x_1,x_2)=\Psi_n(x_1)\Psi_{n'}(x_2)+\Psi_n(x_2)\Psi_{n'}(x_1)\\\text{antisymmetrisch: }\Psi_A(x_1,x_2)=\Psi_n(x_1)\Psi_{n'}(x_2)-\Psi_n(x_2)\Psi_{n'}(x_1)\\

Das geht auch für den Spin:

$\left|\uparrow \right>\left|\uparrow \right>\pm\left|\downarrow \right>\left|\downarrow \right>$

Mit Polarisation von Photonen:

$\left|H\right>\left|H \right>\pm\left|V \right>\left|V \right>$

Mit Qubits:

$\left|0\right>\left|0 \right>\pm\left|1 \right>\left|1 \right>$

Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon

Phys. Rev. 47, 777 (1935)

Spukhafte Fernwirkung kann es nicht geben

Test der Bell'schen Ungleichung

\left|\Phi_\text{Bell} \right> =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|H\right>_a\left|H\right>_b+\left|V\right>_a\left|V\right>_b\right)

Erzeugung polarisations-verschränkter Photonen

Nichtlineare Effekte

Beta-Barium Borat (BBO)

Polarisierbarkeit mit quadratischen Termen:

p=\varepsilon_0\left( \chi_1 E+\chi_2 E^2+\chi_3 E^3+... \right)\\ E(t)= E_1e^{-i\omega_1t}+E_2e^{-i\omega_2t}+E_1^*e^{+i\omega_1t}+E_2^*e^{+i\omega_2t}\\ p^{(2)}(t)= \chi_2E^2(t)= \chi_2\left( {E_1}^2 e^{-2i\omega_1t}+{E_2}^2e^{-2i\omega_2t}+2E_1E_2 e^{-i(\overbrace{\omega_1+\omega_2}^{\text{Summenfrequenz}})t }+2E_1E_2^*e^{-i(\overbrace{\omega_1}^\text{UV}-\overbrace{\omega_2}^{{\text{Vakuum-Feld mit }\omega_2=\frac{1}2\omega_1}})t}+c.c.\right)\\+2\chi_2\left( E_1E_1^*+E_2E_2^*\right)

$\underbrace{\text{Spontaneous}}_\text{Vakuum}\ \underbrace{\text{parametric}}_\text{E-Feld}\ \left. \underbrace{\text{down-conversion}}_{\omega_\text{UV}=2\omega_\text{IR}}\right.$

Typ 1: Verschränkte Photonen gleicher Polarisation

\left|\Phi^\pm\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|H\right>\left|H\right>\pm\left|V\right>\left|V\right>\right)

Typ 2: Verschränkte Photonen unterschiedlicher Polarisation

\left|\Psi^\pm\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|H\right>\left|V\right>\pm\left|V\right>\left|H\right>\right)

4 Bellzustände

Koinzidenzmessung

$\alpha$ gedreht messen wir Polarisation in Koinzidenz

\left| V_\alpha \right>= \cos(\alpha)\left|V\right> -\sin(\alpha)\left|H\right>\\ \left| H_\alpha \right>= \cos(\alpha)\left|V\right> +\sin(\alpha)\left|H\right>

4 verschiedene Ergebnisse:

V_\alpha V_\beta,\ V_\alpha H_\beta,\ H_\alpha V_\beta,\ H_\alpha H_\beta\\

Quantenmechanik sagt voraus:

P_{VV}(\alpha,\beta)= \left|\left<V_\alpha\right|_s\left<V_\beta\right|_i\left|\Psi_\text{DC}\right> \right|^2=\left| \sin(\alpha)\sin(\beta) \cos(\vartheta) + e^{2i\phi}\cos(\alpha)\cos(\beta) \sin(\vartheta) \right|^2

Bell'sche Ungleichung

Bestimme Ausdruck:

E(\alpha,\beta)=P_{VV}(\alpha,\beta)+P_{HH}(\alpha, \beta)-P_{VH}(\alpha, \beta)-P_{HV}(\alpha,\beta)

$E(\alpha,\beta)=+1$ wenn immer gleiches Resultat HH,VV

$E(\alpha,\beta) =-1$ wenn immer unterschiedliches Resultat HV,VH

S=E(\alpha,\beta)-E(\alpha,\beta')+E(\alpha',\beta)+E(\alpha',\beta')

$S\leq 2$

Beweis: $\lambda$ mit Wahrscheinlichkeitsverteilung:

p(\lambda)\geq 0,\ \int p(\lambda) \text{d}\lambda = 1

Bestimmt Messergebnisse A,B

A(\lambda,\alpha)\rightarrow \begin{cases}+1\text{, V-polarisiert } \\-1\text{, H-polarisiert } \end{cases}\\ B(\lambda,\alpha)\rightarrow \begin{cases}+1\text{, V-polarisiert } \\-1\text{, H-polarisiert } \end{cases}\\ P_{VV}(\alpha,\beta)=\int\frac{1+A(\lambda,\alpha)}{2}\cdot \frac{1+B(\lambda,\beta)}{2}p(\lambda)\text{d}\lambda\\ P_{VH}(\alpha,\beta)=\int\frac{1+A(\lambda,\alpha)}{2}\cdot \frac{1-B(\lambda,\beta)}{2}p(\lambda)\text{d}\lambda\\ P_{HV}(\alpha,\beta)=\int\frac{1-A(\lambda,\alpha)}{2}\cdot \frac{1+B(\lambda,\beta)}{2}p(\lambda)\text{d}\lambda\\ P_{HH}(\alpha,\beta)=\int\frac{1-A(\lambda,\alpha)}{2}\cdot \frac{1-B(\lambda,\beta)}{2}p(\lambda)\text{d}\lambda\\ E(\alpha,\beta)=\int A(\lambda,\alpha)\cdot B(\lambda,\beta)p(\lambda)\text{d}\lambda\\ s= A(\lambda,a)B(\lambda,b)-A(\lambda,a)B(\lambda,b')+ A(\lambda,a')B(\lambda,b)+ A(\lambda,a')B(\lambda,b')\\= A(\lambda ,a)\left[ B(\lambda, b) -B(\lambda,b')\right]+A(\lambda ,a')\left[ B(\lambda, b) +B(\lambda,b')\right]\\ \left<s\right>=\int s(\lambda,a,a',b,b')p(\lambda)\text{d}\lambda=E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')=S\\ -2<s<+2\Rightarrow S\leq 2\\ a=0^\circ,\ a'=45^\circ,\ b=22,5^\circ,\ b'=67,5^\circ\\\text{QM}\Rightarrow S=2\sqrt{2}>2

16 Messungen:

P_{VV}=\frac{N(\alpha,\beta)}{N(\alpha,\beta)+N(\alpha_\perp,\beta)+N(\alpha,\beta_\perp)+N(\alpha_\perp,\beta_\perp)}\\ \alpha _\perp=a+90^\circ,\ \beta_\perp=\beta +90^\circ\\ E(a,b)=\frac{N(\alpha,\beta)+N(\alpha_\perp,\beta)-N(\alpha,\beta_\perp)-N(\alpha_\perp,\beta_\perp)}{N(\alpha,\beta)+N(\alpha_\perp,\beta)+N(\alpha,\beta_\perp)+N(\alpha_\perp,\beta_\perp)}\widehat{=}\text{ 4 Messungen}

Quantenmechanik wähle:

$\alpha =0^\circ,45^\circ\text{ und }\beta =22,5^\circ,\ 67,5^\circ$

d.h. insgesamt sind folgende Winkel zu messen:

$\alpha =0^\circ,45^\circ,90^\circ,135^\circ\text{ und }\beta =22,5^\circ,\ 67,5^\circ,\ 112,5^\circ,157,5^\circ$

$\Rightarrow S=2\sqrt{2}$

$S=2\sqrt{2}>2$ d.h. Gott würfelt!

8.2 Atome mit mehreren Elektronen

$\Rightarrow$ Periodensystem

Erinnerung: $\ell$ $\frac{1}{r}$ Potential

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{r}$ $\Rightarrow$ $\ell$ -Entartung

klassisch Vorstellung: $\ell\Rightarrow$ elliptische Bahn

$\ell\Rightarrow$ eher kreisförmige Bahn

$e^-$ $e^-$ $\Rightarrow$ kleiner negative potentielle Energie

$\ell$ , desto höher Energie

s: \ell =0,\ p:\ell=1,\ d: \ell=2,\ f:\ell=3,\dots

Orbitale	1s	2s	2p	3s	3p	4s	3d	4p	5s	4d	5p	6s	4f	5d	6p	7s	5f	6d
$e^-$ $2\cdot(2\ell +1)$	2	2	6	2	6	2	10	6	2	10	6	2	14	10	6	2	14	10
$n+\ell$	1	2	3	3	4	4	5	5	5	6	6	6	7	7	7	7	8	8

$n+\ell$ $n+\ell$ $n$ sortiert

8.2.1 Periodensystem der Elemente

$e^-$ : Valenzelektronen