Vorlesung_36_20171221

Anwendung: Elektronenspinresonanz

$e^-$ im Magnetfeld:

$S=\sqrt{s(s+1)}\hbar=\frac{\sqrt{3}}{2}\hbar$

$\hbar \omega = E_\uparrow-E_\downarrow$

$\Delta E=h\nu$ $\nu=9,5\,$ GHz

U=-\mu_z\cdot B

$\mu_z \parallel B$ ist

$\Rightarrow m_S=-\frac{1}{2}$ ist Grundzustand

$\mu_z=-\frac{e}{m_e}S_z$

\Rightarrow U=\frac{e}{m_e}\cdot m_s\cdot\hbar\cdot B

$m_s=\pm \frac{1}{2}$

h\nu=\frac{e}{m_e}\cdot m_s\cdot\hbar\cdot B\Rightarrow B=\frac{2\pi m_e\nu}{e}=0,34\,\text{T}

Zeitunabhängige 2 Teilchen SGL in 1D:

\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\right)\Psi(x_1,x_2)+U(x_1,x_2)\Psi(x_1,x_2)=E\Psi(x_1,x_2)

Beispiel: Nicht wechselwirkende Teilchen in unendlich tiefen Potentialtopf

\text{Separationsansatz: }\Psi(x_1,x_2)=\Psi_a(x_1)\Psi_b(x_2)

Einsetzen in SGL und dividieren

\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi_b(x_2)\frac{\partial^2\Psi_a(x_1)}{\partial x_1^2}-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi_a(x_1)\frac{\partial^2\Psi_b(x_2)}{\partial x_2^2}\right)\frac{1}{\Psi_a(x_1)\Psi_b(x_2)}+U(x_1,x_2)=E

Wenn Wechselwirkung da wäre:

U(x_1,x_2)=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\left|x_1-x_2\right|}\neq U_1(x_1)+ U_2(x_2)

Ohne Wechselwirkung:

U(x_1,x_2)= U_1(x_1)+ U_2(x_2)

\Rightarrow \left(\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\Psi_a(x_1)}\frac{\partial^2\Psi_a(x_1)}{\partial x_1^2}+U(x_1)}_{=c_1}\right)+\left(\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\Psi_b(x_2)}\frac{\partial^2\Psi_b(x_2)}{\partial x_2^2}+U(x_2)}_{c_2}\right)=E

$c_1+c_2=E$ :

\Psi_n(x_1)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x_1}{L}\right)\text{ mit } c_1=\frac{n^2\pi^2\hbar}{2mL^2}\\ \Psi_{n'}(x_2)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n'\pi x_2}{L}\right)\text{ mit } c_2=\frac{n'^2\pi^2\hbar}{2mL^2}

Wellenfunktion:

\Psi(x_1,x_2) \overset{?}{=}\Psi_n(x_1)\Psi_{n'}(x_2)\text{ und }E=c_1+c_2

$n=4,\ n'=3$

\Psi(x_1,x_2)=\Psi_4(x_1)\Psi_3(x_2)=\frac{2}{L}\sin\left(\frac{4\pi x_1}{L}\right)\sin\left(\frac{3\pi x_2}{L}\right)\\ P(x_1,x_2)=\left|\Psi(x_1,x_2)\right|^2=\frac{4}{L^2}\sin^2\left(\frac{4\pi x_1}{L}\right)\sin^2\left(\frac{3\pi x_2}{L}\right)

$x_1,\dots, x_1+\text{d}x_1$ $x_2,\dots,x_2+\text{d}x_2$ $\text{d}x_1\text{d}x_2P(x_1,x_2)$

\int\text{d}x_1\int\text{d}x_2P(x_1,x_2)\overset{!}{=}1

\Psi_4\left(x_1=\frac{L}{2}\right)=0 \text{ ist unabhängig von }x_2\\ \begin{aligned} P\left(\frac{L}{2},x_2\right)&=0\\ P\left(x_1,\frac{L}{2}\right)&=\frac{4}{L}\sin^2\left(\frac{4\pi x_1}{L}\right)\neq0 \end{aligned}

$\huge\unicode{x21af}$ zur Ununterscheidbarkeit

Es muss gelten:

P(x_1,x_2)=P(x_2,x_1)

Wahrscheinlichkeitsdichten muss gleich sein, wenn Indizes vertauscht werden.

Ansatz:

\text{symmetrisch: }\Psi_S(x_1,x_2)=\Psi_n(x_1)\Psi_{n'}(x_2)+\Psi_n(x_2)\Psi_{n'}(x_1)\\ \text{antisymetrisch: }\Psi_A(x_1,x_2)=\Psi_n(x_1)\Psi_{n'}(x_2)-\Psi_n(x_2)\Psi_{n'}(x_1)\\

Ist Lösung, da SGL lineare Differentialgleichung ist, summen und differenzen auch Lösungen.

Eingesetzt in Beispiel:

\Psi_S(x_1,x_2)=\frac{\sqrt 2}{L}\left[\sin\left(\frac{4\pi x_1}{L}\right)\sin\left(\frac{3\pi x_2}{L}\right)+\sin\left(\frac{3\pi x_1}{L}\right)\sin\left(\frac{4\pi x_2}{L}\right)\right]\\ \Psi_A(x_1,x_2)=\frac{\sqrt 2}{L}\left[\sin\left(\frac{4\pi x_1}{L}\right)\sin\left(\frac{3\pi x_2}{L}\right)-\sin\left(\frac{3\pi x_1}{L}\right)\sin\left(\frac{4\pi x_2}{L}\right)\right]

$P(x_1<\frac{L}{2},x_2<\frac{L}{2})=?$

\begin{align} \text{symmetrischer Fall: }P_S&=0,382\leftarrow \text{Bosonen, ganzzahliger Spin}\\ \text{antisymmetrischer Fall: }P_A&=0,118\leftarrow \text{Fermionen, halbzahliger Spin}\\ \text{asymmetrischer Fall: }P&=0,25 \end{align}

Bosonen: gilt Ausschlussprinzip nicht, da die Wellenfunktion symmetrisch ist

Fermionen: gilt Ausschlussprinzip, da die Wellenfunktion asymmetrisch ist

$n=n'$

\Rightarrow \Psi_n(1)\Psi_n(2)-\Psi_n(2)\Psi_n(1)=0

Ununterscheidbare Fermionen dürfen nicht im selben Zustand sein!

1924 Wolfgang Pauli

1945 Nobelpreis

Zusammengesetzte Teilchen

Bosonen (ganzzahliger Spin) addieren sich immer zu Bosonen.

Fermionen: gerade Anzahl von Fermionen addieren sich zu Bosonen eine ungerade Anzahl zu Fermionen.