Vorlesung_35_20171221

7.8 Wasserstoffähnliche Atome

Einfach ionisiertes Helium

U(r)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2e^2}{r}

$Z$ $1e^-$

U(r)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Ze^2}{r}

$e^2\rightarrow Ze^2$ in

E_n=-\frac{m e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2}\ \ \ \ n=1,2,3

\Rightarrow \boxed{E_n=-\frac{Z^2\cdot13,6\,\text{eV}}{n^2}}

7.10.3 Rydbergatome

n\geq 40

zirkulare Rydbergatome

\ell=n-1\text{ und }m=\pm\ell

Sehr langlebig.

Anwendung Quantenoptik: Nicht destruktive Messung von Quantenzuständen des Lichts.

7.10 Emission von Photonen

Übergänge mit oszillierender Ladungsverteilung

\Psi_\text{Übergang}(\vec r,t)= \Psi_A(\vec r,t)+\Psi_E(\vec r ,t)=\Psi_A(\vec r)e^{-i\frac{E_A}{\hbar}t}+\Psi_E(\vec r)e^{-i\frac{E_E}{\hbar}t}\\ \Psi_\text{Ü}^*\Psi_\text{Ü}=\left|\Psi_A\right|^2+\left|\Psi_E\right|^2+\Psi_A^*\Psi_Ee^{-i\frac{E_E-E_A}{\hbar}t}+\Psi_E^*\Psi_Ae^{-i\frac{E_A-E_E}{\hbar}t}\\ \underbrace{\hbar\omega}_\text{Photon}=E_A-E_E

$\vec p$

p=\int_{\mathbb R^3}(-e\underbrace{\vec r}_{\text{ungerade } \text{Parität}})\Psi_Ü^*\Psi_Ü\text{d}V\neq 0\\

dass heißt:

\begin{align} x&\rightarrow-x\\ y&\rightarrow-y \Rightarrow\vec r\rightarrow -\vec r\\ z&\rightarrow-z \end{align}

$\Psi_Ü^*\Psi_Ü$ muss ungerade Parität haben

$\Rightarrow \ \Psi_A$ $\Psi_E$ müssen unterschiedliche Parität haben

$\ell$ abh.

$\Rightarrow \Delta \ell$ ungerade & Spin von Photon ist 1

$\Rightarrow$ Auswahlregeln:

\begin{align} \Delta \ell &=\pm1\\ \Delta m&=\pm1,0 \end{align}

7.10.2 Übergangsrate

\frac{\text{Abgestrahlte Energie}}{\text{Zeit}}=\frac{p^2\omega^4}{12\varepsilon_0c^3}\\ \frac{\text{Energie}}{\text{Photon}}=\hbar \omega\\ \Rightarrow \frac{\text{Photonen}}{\text{Zeit}}=\frac{\text{Energie}}{\text{Zeit}}\frac{\text{Photon}}{\text{Energie}}=\frac{p^2\omega^4}{12\varepsilon_0c^3}\frac{1}{\hbar \omega}\\ \Rightarrow \frac{\text{Zeit}}{\text{Photonen}}=\frac{12\varepsilon_0c^3\hbar}{p^2\omega ^3}

8.1 Quantisierung des Drehimpulses

Geladenes Teilchen mit Drehimpuls

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ magnetisches Dipolmoment

$\Rightarrow$ Dipolmoment quantisiert

$\Rightarrow$ quantisierte Kraft

Strom:

I=\frac{e}{T}\text{ mit Umlaufzeit } T

Magnetisches Moment:

\begin{align} \mu&=I\cdot A\\ &=\frac{e}{T}\pi r^2\\ &=\frac{e}{2\pi\frac{r}{v}}\pi r^2\\ &=\frac{e}{2}v\cdot r\\ &=\frac{e}{2m_e}(m_e\cdot v\cdot r)=-\frac{e}{2m_e} L \end{align}

Auch quantenmechanisch korrekt

Im Magnetfeld erfährt Dipol ein Drehmoment

\vec M=\vec \mu\times \vec B\text{, da }\vec M\perp \vec B\text{ und }\vec M\perp\vec L

$\Rightarrow$ $\vec B$ $\vec L$ $\Rightarrow$ Präzessionsbewegung

Herleitung:

\begin{align} \left|\vec M\right|&=\left|\vec \mu_L\times\vec B\right|\\ \Leftrightarrow\left|\frac{\text{d}\vec L}{\text{d}t}\right|&=\left|-\frac{e}{2m_e}\vec L \times \vec B\right|\\ \left|\frac{\text{d}\vec L}{\text{d}t}\right|&=\frac{e}{2m_e}L\cdot B\cdot \sin(\vartheta)\\ L\cdot \sin(\vartheta)\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}&=\frac{e}{2m_e}L\cdot B\cdot \sin(\vartheta)\\ &\Rightarrow \boxed{\omega _L =\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}=\frac{eB}{2m_e}}\text{ Larmorfrequenz} \end{align}

$\mu_B$ $B$ -Achse konst=> Quantisierungsachse.

8.1.2 Stern-Gerlach-Versuch (1922) (siehe Sakurai: Modern Quantum-Mechanics)

Magnetischer Dipol in inhomogenen Feld

\begin{align} \vec F&=\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\hat z\\ &=\left(-\frac{e}{2m_e} L_z\right)\frac{\partial B_z}{\partial z}\hat z \end{align}

$L = 0$ erwartet man Gaußverteilung

$\ell=1$

$L_z=m \hbar$

F=-\frac{e}{2m_e}\underbrace{m_\ell}_\text{magnetische Quantenzahl}\hbar\frac{\partial B_z}{\partial z}\vec e_z\ \ \ m_\ell=-\ell,-\ell+1,\dots,\ell

$\ell=0$ sieht man

$\Rightarrow$ $1/2$ hat.

8.1.3 Spin

$e^-$ ist ein Punktteilchen und hat einen intrinsischen Spin

Das ist eine intrinsische Eigenschaft wie Masse und Ladung

Folge der relativistischen Quantenmechanik

\begin{align} \text{analog zu }L&=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar\\ \text{gilt }S&=\sqrt{s(s+1)}\hbar \end{align}

aber S ist bleibt bei Teilchen konstant, anders als L.

Fermion	(halbzahliger Spin)	Bosonen	(ganzzahliger Spin)
$e^-$	$\frac{1}{2}$	$\pi^0$	0
$p^+$	$\frac{1}{2}$	$\alpha$ -Teilchen	0
$n^0$	$\frac{1}{2}$	$\gamma$	1
$\nu$	$\frac{1}{2}$	$d(p^++n^0)$	1
$\Omega^-$	$\frac{3}{2}$	Graviton	2

Elektron hat intrinsisches magnetisches Dipolmoment

\mu_s=g\frac{q}{2m_e}\cdot S

$g$ $g$ -Faktor

$e^-$ :

g_e=2,002319304386\\ \mu_s=-\frac{g_ee}{2m_e}S\approx \frac{e}{m_e}S

Proton:

g_p= 5,6\dots\\ m_p>>m_e\Rightarrow \mu_p <<\mu_e

S_z=m_s\hbar\text{, mit }m_s=-s,-s+1,\dots,s-1, s

$\ell=0$ $e^-$ $m_s=\pm\frac{1}{2}\Rightarrow 2$ Linien

Achtung: Spin hat nichts mit räumlicher Rotation zu tun!

8.1.4 Sequentieller Stern-Gerlach-Versuch

$S_z^+$ $S_z^+$ $S_x^+$ $S_z^+$ $S_x^-$

$S_z^+$ $S_z^{^-}$ $\huge\unicode{x21af}$ zur Annahme

Analogie zu polarisierten Licht

\begin{align} S_z^\pm&\widehat{=}0°,90°\\ S_x^\pm&\widehat{=}45°,135°\\ \left|S_x,\pm \right>&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|S_z,+ \right>\pm\left|S_z,- \right> \right)\\ \left|S_z,+ \right>&\widehat{=}\left|\uparrow \right>\\ \left|S_z,- \right> &\widehat{=}\left|\downarrow \right> \end{align}

\Rightarrow \Psi_{n\ell m_\ell m_s}(r,\vartheta,\varphi)=\cases{\Psi_{n\ell m_\ell}(r,\vartheta,\varphi)\left|\uparrow \right>\text{, bei }m_s=+\frac{1}{2}\\\Psi_{n\ell m_\ell}(r,\vartheta,\varphi)\left|\downarrow \right>\text{, bei }m_s=-\frac{1}{2}}