Vorlesung_34_20171218

$Y(\vartheta, \varphi )$ $R(r)$ $V(r)$

\frac{\text{d}}{\text{d}r}\left(r^2\frac{\text{d}R(r)}{\text{d}r}\right)-\frac{2Mr^2}{\hbar^2}\left(V(r)-E\right)\cdot R(r)=\ell(\ell+1)R(r)\\

$\int |u(r)|^2dr=1$

u(r)=rR(r)\Rightarrow R(r)=\frac{u(r)}{r}\\ \frac{\text{d}R(r)}{\text{d}r}=\left[r\frac{\text{d} u(r)}{\text{d}r}-u(r)\right]\frac{1}{r^2}\\ \frac{\text{d}}{\text{d}r}\left[r^2\left(\frac{\text{d}R(r)}{\text{d}r}\right) \right]=r\frac{\text{d}u^2(r)}{\text{d}r^2}

Radialgleichung:

-\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\text{d}^2u(r)}{\text{d}r^2}+\underbrace{\left[V(r)+\underbrace{\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}}_\text{Zentrifugalterm}\right]}_\text{effektives Potential}u(r)=E\cdot u(r)

Normierung:

\int_0^\infty\left|u(r)\right|^2\text{d}r=1\\ V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\\ \Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\text{d}^2u(r)}{\text{d}r^2}+\left[-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}+\frac{\hbar^2}{2M}\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]u(r)=E\cdot u(r)\ \ \ (iii)\\ \kappa=\frac{\sqrt{-2ME}}{\hbar}\text{, mit }E<0\Rightarrow \kappa \in\mathbb{R}\\ (iii)/E:\ \ \ \frac{1}{\kappa^2}\frac{\text{d}^2u(r)}{\text{d}r^2}=\left[1-\frac{Me^2} {2\pi\varepsilon_0\hbar^2\kappa}\frac{1}{\kappa r}+\frac{\ell(\ell+1)}{(\kappa r)^2}\right]u(r)\\ \varrho=\kappa r\text{ und }\varrho_0=\frac{Me^2} {2\pi\varepsilon_0\hbar^2\kappa}\\ \Rightarrow \frac{\text{d}^2u(\varrho)}{\text{d}\varrho^2}=\left(1-\frac{\varrho_0}{\varrho}+\frac{\ell(\ell+1)}{\varrho^2}\right)u(\varrho)

Analoges Vorgehen wie beim harmonischen Oszillator

$\varrho \rightarrow\infty$

\frac{\text{d}^2u(\varrho)}{\text{d}\varrho^2}=1u(\varrho)

allgemeine Lösung:

u(\varrho)=Ae^{-\varrho}+Be^{+\varrho}\\ e^\varrho\text{ für }\varrho\rightarrow \infty \;\text{muss verschwinden daher: } u(\rho)\sim A e^{-\rho}

$\varrho\rightarrow 0$ dominiert Zentrifugalkraft

\frac{\text{d}^2u(\varrho)}{\text{d}\varrho^2}=\frac{\ell(\ell+1)}{\varrho^2}u(\varrho)

Lösung zum Beispiel:

u(\varrho)=c\varrho^{\ell+1}\text{ und }u(\varrho)=D\varrho^{-\ell}\\ \text{für }\varrho\rightarrow 0,\ D\varrho^{-\ell}\rightarrow \infty\Rightarrow D=0

Lösungsansatz: durch Multiplikation (analog zu harmonischer Oszillator)

u(\varrho)=\varrho^{\ell+1}e^{-\rho} v(\varrho)\\ \text{einsetzen: }\Rightarrow \frac{\text{d}u(\varrho)}{\text{d}\varrho}=\varrho^\ell e^{-\varrho}\left[\left(\ell+1-\varrho \right)v(\varrho)+\varrho\frac{\text{d}v(\varrho)}{\text{d}\varrho} \right]\\ \frac{\text{d}^2u(\varrho)}{\text{d}\varrho^2}=\varrho^{\ell} e^{-\varrho}\left[\left(-2\ell-2+\varrho+\frac{\ell(\ell+1)}{\varrho} \right)v(\varrho)+2\left(\ell+1-\varrho\right)\frac{\text{d}v(\varrho)}{\text{d}\varrho}+\varrho\frac{\text{d}^2v(\varrho)}{\text{d}\varrho^2} \right]=0\ \ \ (iv)

Einsetzen in Radialgleichung:

\Rightarrow \varrho\frac{\text{d}^2v(\varrho)}{\text{d}\varrho^2}+2\left(\ell+1-\varrho\right)\frac{\text{d}v(\varrho)}{\text{d}\varrho} +\left[\varrho_0-2(\ell+1) \right]v(\varrho)=0

Potenzreihenansatz:

v(\varrho)=\sum_{j=0}^\infty c_j\varrho^j\\ \frac{\text{d}v(\varrho)}{\text{d}\varrho}=\sum_{j=0}^\infty j\cdot c_j\varrho^{j-1}\overset{j\rightarrow j+1}{=}\sum_{j=-1}^\infty(j+1)c_{j+1}\varrho^j=\sum_{j=0}^\infty(j+1)c_{j+1}\varrho^j\\ \frac{\text{d}^2v(\varrho)}{\text{d}\varrho^2}=\sum_{j=0}^\infty j(j+1)c_{j+1}\varrho^{j-1}

$(iv)$

\sum_{j=0}^\infty j(j+1)c_{j+1}\varrho^{j}+2(\ell+1)\sum_{j=0}^\infty(j+1)c_{j+1}\varrho^j-2\sum_{j=0}^\infty j c_j\varrho^j+\left[\varrho_0 - 2(\ell+1)\right]\sum_{j=0}^\infty c_j\varrho^j=0

Koeffizienten mit gleichen Potenzen gleich:

j(j+1)c_{j+1}+2(\ell+1)(j+1)c_{j+1}-2jc_j+\left[\varrho_0 -2(\ell+1)\right]c_j=0\\ \Rightarrow \text{Rekursionsformel: }c_{j+1}=\frac{2(j+\ell+1)-\varrho_0}{(j+1)(j+2\ell+2)} c_j

$c_0$ durch Normierung

$j$ :

c_{j+1}=\frac{2j}{j(j+1)}c_j=\frac{2}{j+1}c_j\\ c_j\simeq\frac{2^j}{j!}c_0\\ v(\varrho)=c_0\sum_{j=0}^\infty\frac{2^j}{j!}\varrho^j=c_0e^{2\varrho}

$\rho\rightarrow \infty$

$u(\varrho)=\rho^{\ell+1}e^{-\rho}v(\rho) =c_0\varrho^{\ell+1}e^\varrho$ divergiert

Deshalb muss die Reihe abbrechen:

$j_\text{max}$ $c_{j_\text{max}+1}=0$

\Rightarrow 2(\underbrace{j_\text{max}+\ell+1}_n)-\varrho_0=0\Rightarrow \varrho_0=2n

$\ell, j_\text{max}$ $\Rightarrow n$ ganzzahlig

\text{mit }\varrho_0=\frac{Me^2} {2\pi\varepsilon_0\hbar^2\kappa}\text{ und }\kappa=\frac{\sqrt{-2ME}}{\hbar}\\ \Rightarrow E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2M}= \frac{Me^4}{8\pi^2\varepsilon_o^2\hbar^2\varrho_0^2}\\ \Rightarrow E_n=-\left[\frac{M}{2\hbar^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2\right]\frac{1}{n^2}=\frac{E_1}{n^2}

$n$ $E_1$ =-13.6eV

$\Rightarrow$ Wellenfunktion:

\Psi_{n,\ell,m}(r,\vartheta,\varphi)=R_{n\ell}(r)Y_\ell^m(\vartheta,\varphi)

E_1=-13,6\,\text{eV}

Bohrradius:

\kappa=\frac{M e^2}{2 \pi \epsilon_0 \hbar^2 \varrho_0}=\frac{M e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}\frac{1}{n}=\frac{1}{a_0}\frac{1}{n}\\ a_0=\frac{4\pi \varepsilon_0\hbar^2}{Me^2}=0.529 \times 10^{-10}m

Normierung ergibt:

$\Psi_{100}(r,\theta,\phi)=R_{10}(r)Y_0^0(\theta,\phi)$

$R_{10}(r)=\frac{c_0}{a_0}e^{-r/a_0}$

$\int_0^\infty|R_{10}|^2r^2dr=|c_0|^2 \frac{a_0}{4}=1$

$Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}$

$\Psi_{100}(r,\theta,\phi)=\frac{1}{\pi a_0^3}e^{-r/a_0}$ $c_0=\frac{2}{\sqrt{a_0}}$

$n$

d(n)=\sum_{\ell=0}^{n-1}(2\ell+1)=n^2

$v(\varrho)$ ist zugeordnetes Laguerre-Polynom

v(\varrho)=L_{n-\ell -1}^{2\ell+1}(2\varrho)\\ L_{q-p}^p(x)=(-1)^p\left(\frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)^pL_q(x)\\

q-te Laguerre-Polynom:

L_q(x)=\frac{1}{q!}e^x\left(\frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)^q(e^{-x}x^q)\\

$q,p\geq0$ $x^q$ $\Rightarrow p\leq q$

$q-p=n-\ell-1$ $\Rightarrow l=n-1-(q-p)$ $\Rightarrow \ell \leq n-1$

Beispiel:

L_0(x) = 1\\ L_1(x) = -x+1\\ L_2(x) = \frac{1}{2}\,(x^2 - 4\,x + 2)\\ L_3(x) = \frac{1}{6}\,(-x^3 + 9\,x^2 -18\,x + 6)\\ \Rightarrow R_{10}(r)=2a_0^{-\frac{3}{2}}e^{-\frac{r}{a_0}}\\ R_{20}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}a_0^{-\frac{3}{2}}\left(1-\frac{1}{2}\frac{r}{a_0} \right)e^{-\frac{r}{2a_0}}\\ R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}a_0^{-\frac{3}{2}}\frac{r}{a_0} e^{-\frac{r}{2a_0}}\\ R_{30}(r)=\frac{2}{\sqrt{27}}a^{-3/2}\left(1-\frac{2}{3}\frac{r}{a}+\frac{2}{27}\left(\frac{r}{a}\right)^2\right)e^{-r/3a}\\ R_{31}(r)=\frac{8}{27\sqrt{6}}a^{-3/2}\left(1-\frac{1}{6}\frac{r}{a}\right)^2 e^{-r/3a}\\ R_{32}(r)=\frac{4}{81\sqrt{30}}a^{-3/2}\left(\frac{r}{a}\right)^2 e^{-r/3a}

Gesamtwellenfunktion:

\Psi_{n\ell m}(r,\vartheta,\varphi) = \sqrt {{\left ( \frac{2}{n a_0} \right )}^3 \frac{(n-\ell-1)!}{2n\left[(n+\ell)!\right]^3}} e^{- \frac{r }{n a_0}} \left(\frac{2r }{n a_0}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\left(\frac{2r }{n a_0}\right) Y_{\ell}^{m}(\vartheta, \varphi )\\ \int\Psi^*_{n\ell m}\Psi_{n'\ell'm'}=\delta_{nn'}\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}

Orbitale:

	s	p	d	f	g	h	...
$\ell$	0	1	2	3	4	5	...

$3d$ $e^-$ am Wahrscheinlichsten?

3d\Rightarrow R_{n=3,\ell=2}=\frac{1}{(3a_o)^\frac{3}{2}}\frac{2}{27}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\frac{r^2}{a_0^2} e^{-\frac{r}{3a_0} } \\ P(r)= R_{3,2}^2(r)r^2

$r^2$ $\int r^2\sin(\vartheta)\text{d}r\ \text{d}\varphi\ \text{d}\vartheta$

\frac{\text{d}P(r)}{\text{d}r}=0\Rightarrow \left(6r^5-\frac{2}{3a_0}r^6\right)e^{-\frac{2r}{3a_0}}=0\\ \Leftrightarrow r^5\underbrace{\left(6-\frac{2}{3a_0}r\right)}_{=0}e^{-\frac{2r}{3a_0}}=0\\\Rightarrow r=9a_0

$\ell=n-1$ :

r=n^2a_0

$e^-$ $3d$ :

\bar r= \int_0^\infty rP(r)\text{d}r=\int_0^\infty r^3 R_{3,2}(r)^2=10.5\;a_0

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