Vorlesung_30_20171211

\Psi(x,t)= \int_{-\infty}^\infty \underbrace{A(k)}_\text{Amplitude aus FT von $\Psi(x,0)$}e^{i(kx-\omega t)}\text{d}k

Dipersionsrelation:

\text{EM-Wellen: }\omega(k)=c\cdot k\,\widehat{=} E=c\cdot p\\ \text{Materiewelle: }\omega (k)=\frac{\hbar k^2}{2m}\,\widehat{=}E=\frac{\hat{p}^2}{2m}

Phasengeschwindigkeit:

v_\text{phase}=\lambda\cdot f=\frac{\omega}{k}\\ \text{EM-Wellen: }v_\text{phase}=\frac{\omega}{k}=c\\ \text{Materiewellen: }v_\text{phase}=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar k}{2m}

Gauß'sches Wellenpaket:

\Psi(x,0)=C\cdot e^{-\left(\frac{x}{2\epsilon}\right)^2}e^{ikx}

Zeitentwicklung aus

$\Rightarrow A(k)$

\Psi(x,t)=\int_{-\infty}^\infty A(k) e^{i(kx-\omega t)}\text{d}k\\ \left|\Psi(x,t)\right|^2=\frac{C^2}{\sqrt{1+\frac{D^2t^2}{4\varepsilon^4}}}e^{-\frac{(x-st)^2}{2\varepsilon^2\left(1+\frac{D^2t^2}{4\varepsilon^4}\right)}}

Gruppengeschwindigkeit:

s=\left.\frac{\text{d}\omega(k)}{\text{d}\text{k}}\right|_{k_0}

Dispersionsrelation:

D=\left.\frac{\text{d}^2\omega(k)}{\text{d}k^2}\right|_{k_0}

Beschreibt wie sich die Welle im Laufe der Zeit verbreitert.

\text{EM-Wellen: }v_\text{Gruppe}=\frac{\text{d}\omega(k)}{\text{d}\text{k}}=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}\text{k}}c\cdot k\right|_{k_0}=c

$v_\text{Gruppe}=v_\text{Phase}$

\text{Materiewelle: }v_\text{Gruppe}=\frac{\text{d}\omega(k)}{\text{d}\text{k}}=\left.\frac{\text{d}}{\text{d}\text{k}}\frac{\hbar k^2}{2m} \right|_{k_0}=\frac{\hbar k_0}{m}=\frac{p_0}{m}= v_0

Maximum bewegt sich wie klassisches Teilchen.

v_\text{Phase}=\frac{v_0}{2}

7 Quantenmechanik in 3D, Wasserstoff

Analog zu 1D:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi (x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi(x,t)=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}

In 3D:

U(x)\rightarrow U(x,y,z)\\ \psi(x)\rightarrow \psi(x,y,z)\\ \hat{\vec{p}}=\begin{pmatrix} \hat{p}_x\\ \hat{p }_y\\ \hat{p}_z \end{pmatrix}\Rightarrow \hat{\vec{p}}^2= \hat{p}_x^2+\hat{p}_y^2+\hat{p}_z^2

Schrödingergleichung in 3D:

\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla ^2\Psi(x,y,z,t)+U(x,y,z)\Psi(x,y,z,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,y,z,t)}

$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

\left|\Psi(\vec{r},t)\right|^2=\frac{\text{Wahrscheinlichkeit}}{\text{Volumen}}\\ \Rightarrow \Psi(\vec{r},t)\text{ hat Einheit }\ \frac{1}{\sqrt{\text{Volumen}}}

Normierungsbedingung:

\int_{\substack{\text{Gesamter}\\ \text{Raum}}}\left|\Psi(\vec{r},t)\right|^2\text{d}V=1

\Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\Phi(t),\ \Phi(t)= e^{-\frac{i}{\hbar}Et}

$\Rightarrow$ Zeitunabhängige Schrödingergleichung

\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla ^2\Psi(x,y,z)+U(x,y,z)\Psi(x,y,z)=E\Psi(x,y,z)}

U(\vec{r})=\begin{cases}0,\ 0<x<L,\ 0<y<L,\ 0<z<L \\\infty,\text{ sonst}\end{cases}

Separation der Variablen:

\psi(x,y,z)=F(x)G(y)H(z)

Einsetzen in Schrödingergleichung

\Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 F(x)G(y)H(z)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F(x)G(y)H(z)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 F(x)G(y)H(z)}{\partial z^2} \right)\cdot \frac{1}{F(x)G(y)H(z)}= E\\ \frac{1}{F(x)}\frac{\partial ^2 F(x)}{\partial x^2}+\frac{1}{G(y)}\frac{\partial ^2G(y)}{\partial y^2}+\frac{1}{H(z)}\frac{\partial ^2H(z)}{\partial z^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\\ \text{wenn} \, A(x_1)=B(y,z) \& A(x_2)=B(y,z) \Rightarrow A(x_1)=A(x_2)=c\\ \Rightarrow \frac{1}{F(x)}\frac{\partial ^2 F(x)}{\partial x^2}=C_x\\ \frac{1}{G(y)}\frac{\partial ^2G(y)}{\partial y^2}=C_y\\ \frac{1}{H(z)}\frac{\partial ^2H(z)}{\partial z^2}=C_z\\ \text{Umgeformt: }\frac{\partial ^2 F(x)}{\partial x^2}=C_x F(x)

\begin{align*} \text{Lösungen: }F(x)=A_x\cdot \sin\left(\frac{n_x\pi x}{L_x} \right)\\ G(y)=A_y\cdot \sin\left(\frac{n_y\pi y}{L_y} \right)\\ H(z)=A_z\cdot \sin\left(\frac{n_z\pi z}{L_z} \right) \end{align*}

Eingesetzt in 3D SGL:

-\frac{n_x^2\pi^2}{L_x^2}-\frac{n_y^2\pi^2}{L_y^2}-\frac{n_z^2\pi^2}{L_z^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\\ \Rightarrow E_{n_x,n_y,n_z}=\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2} \right)\frac{\pi^2\hbar^2}{2m}\\\psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=A\cdot \sin\left(\frac{n_x\pi x}{L_x} \right)\cdot \sin\left(\frac{n_y\pi y}{L_y} \right)\cdot \sin\left(\frac{n_z\pi z}{L_z} \right)

Quantenzahlen haben sich verändert

Beispiel: $L_x=1$ $L_y=2$ $L_z=3$

E_{1,1,1}= \left(\frac{1^2}{1^2}+\frac{1^2}{2^2}+\frac{1^2}{3^2} \right)\frac{\pi^2\hbar^2}{2m}=\frac{49\pi^2\hbar^2}{72m} \\ \psi_{1,1,1}(x,y,z)=A\cdot \sin\left(\frac{\pi x}{1} \right)\cdot \sin\left(\frac{\pi y}{2} \right)\cdot \sin\left(\frac{\pi z}{3} \right)