Vorlesung_29_20171211

$Ce^{\alpha x}$ $\Psi_{0<x<L}$ muss vernachlässigbar gering sein, da die Transmission sehr klein sein muss

\Rightarrow\Psi_{0<x<L}(x)=De^{-\alpha x}\text{ mit } \delta =\frac{1}{\alpha}\text{, wenn }\frac{L}{\delta }=\alpha L=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}L>>1

Taylorentwicklung

\Rightarrow T\approx 16\frac{E}{U_0}\left(1-\frac{E}{U_0} \right)e^{-\frac{2L\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}}

Beispiel: $U_0= 5\,$ $L=1,6\,$ nm

E_1=2,0\,\text{eV}\text{ und }E_2=3,0\,\text{eV}\\ \frac{L}{\delta _ 1}= 14,2\ \ \frac{L}{\delta_2}=11,6\ \ \surd\\ T_1=16\cdot \frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{5}\right)e^{-2\cdot 14,2}\approx2\cdot 10^{-12}\\ T_2=16\cdot \frac{3}{5}\left(1-\frac{3}{5}\right)e^{-2\cdot 11,6}\approx3\cdot 10^{-10}

Sehr stark Energieabhängig

E_\text{Pot}(r)=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r} \text{ mit }r_\text{Kern}=7,4\cdot 10^{-15}\,\text{m}\\ \Rightarrow E_\text{Pot}(r_\text{Kern})=35\,\text{MeV}\text{, aber } E_{\text{kin},\alpha}=4,3\,\text{MeV}

Nur durch Tunneleffekt erklärbar!

Beispiel: $\alpha$ -Zerfälle

$T\propto e^{-E}$

Tunneleffekt ist analog zu:

Superconducting quantum interference devices

Zur Messung schwacher Magnetfelder

Atome in Spitze auflösbar

STM: Scanning tunneling microscope

Beispiel: Austrittsarbeit Metall: 4eV

$\Rightarrow \Delta x$ ?

U_A=U_0- E \\ \frac{T_1}{T_2}= 0,1=\frac{e^{-\frac{2L_1\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}}}{e^{-\frac{2L_2\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}}}=e^{-\frac{2\Delta L\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}}\\ \Rightarrow \Delta L=5\cdot 10^{-12}\,\text{m}= 0,005\,\text{nm}

Wellenpakete sind realistischer als ebene Wellen

$\Rightarrow$ als Integral von ebenen Wellen darstellbar

Dispersion: Wellenpaket verbreitert sich

Schwebung:

\Psi (x,t)=Ae^{i(k_1x-\omega _1t)}+Ae^{i(k_2x-\omega _2t)}\\ k_1=k+\text{d}k\ \ \ \omega_1 = \omega+\text{d}\omega\\ k_2=k-\text{d}k\ \ \ \omega_2 = \omega-\text{d}\omega\\ \Rightarrow \Psi(x,t)= Ae^{i(kx-\omega t)}\underbrace{\left(e^{+i(\text{d}k\cdot x-\text{d}\omega \cdot t)}+e^{-i(\text{d}k\cdot x-\text{d}\omega\cdot t)} \right)}_{2\cdot \cos(\text{d}k\cdot x-\text{d}\omega\cdot t)}\\ =Ae^{i(kx-\omega t)}2\cdot \cos(\text{d}kx-\text{d}\omega t)\\ \Rightarrow \text{ Phasengeschwindigkeit: }\frac{\omega}{k}\\ \text{Eihüllend}\Rightarrow\text{Gruppengeschwingkeit} = \frac{\text{d}\omega}{\text{d}k}

$\Psi^* \Psi=4 A^2 \cos^2((\text{d}k\cdot x -\text{d}w\cdot t))$