Vorlesung_23_20171127

Numerov

(i)\ \ \psi''(x)=g(x)\psi(x)

Taylor-Entwicklung:

\psi(x+\Delta x)= \psi(x) + \psi'(x)\Delta x+\frac{1}{2}\psi''(x) \Delta x^2+\frac{1}{3!}\psi'''(x)\Delta x^3+\frac{1}{4!}\psi''''(x)\Delta x^4+\mathcal{O}(\Delta x^5)\\ \psi(x-\Delta x)= \psi(x) - \psi'(x)\Delta x+\frac{1}{2}\psi''(x) \Delta x^2-\frac{1}{3!}\psi'''(x)\Delta x^3+\frac{1}{4!}\psi''''(x)\Delta x^4-\mathcal{O}(\Delta x^5)\\\\ \text{2. Ableitung: (ii) } \psi''(x)\approx \psi_\text{nummerisch}''(x)=\frac{\frac{\psi(x+\Delta x)-\psi(x)}{\Delta x}-\frac{\psi(x)-\psi(x-\Delta x)}{\Delta x}}{\Delta x}=\frac{\psi(x+\Delta x)+\psi(x-\Delta x)-2\psi(x)}{\Delta x^2}

Einsetzen der Taylor Entwicklung:

\text{(iii)}\;\psi''(x)_\text{numerisch}=\psi''(x)+\frac{1}{12}\psi''''(x)\cdot \Delta x^2+\mathcal{O}(\Delta x^4)

$\psi''(x) = g(x)\psi(x)$

\text{(iv)}\;\psi''''(x) = \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}\left( g(x)\cdot \psi(x)\right)\\ = \frac{g(x+\Delta x)\psi(x+\Delta x)+g(x-\Delta x)\psi(x-\Delta x)-2g(x)\psi(x)}{\Delta x^2}+\mathcal{O}(\Delta x^4)

(iv) und (i) in (iii) einsetzen:

\psi''(x)_\text{numerisch}=g(x)\psi(x) + \frac{1}{12}\left(g(x+\Delta x)\psi(x+\Delta x)+g(x-\Delta x)\psi(x-\Delta x)-2g(x)\psi(x)\right)+\mathcal{O}(\Delta x^4)

(ii) für rechte Seite:

\psi(x+\Delta x)+\psi(x-\Delta x)-2\psi(x)=g(x)\psi(x)\Delta x^2 + \frac{1}{12}\left(g(x+\Delta x)\psi(x+\Delta x)+g(x-\Delta x)\psi(x-\Delta x)-2g(x)\psi(x)\right)\Delta x^2+\mathcal{O}(\Delta x^6)

\Rightarrow \psi(x+\Delta x)=2\psi(x) - \Psi(x-\Delta x) + g(x)\psi(x) \Delta x^2+\frac{1}{12}\Delta x^2\left[ g(x+\Delta x)\psi(x+\Delta x)\right.\\ \left.+g(x-\Delta x)\psi(x-\Delta x) -2g(x)\psi(x)\right] \\\psi(x+\Delta x)\cdot\left(1-\frac{1}{12}\Delta x^2g(x+\Delta x) \right) = ...\\ \Rightarrow \psi(x+\Delta x)=\frac{\psi(x)\left(2+\left[g(x)-\frac{2}{12}g(x)\right]\Delta x^2\right)}{1-\frac{1}{12}\Delta x^2g(x+\Delta x)}+\frac{\psi(x-\Delta x)\left( -1+\frac{1}{12}g(x-\Delta x)\Delta x^2\right)}{1-\frac{1}{12}\Delta x^2g(x+\Delta x)}\\ \psi(x+\Delta x)= \frac{\psi(x)\cdot\left( 2+\frac{10}{12}g(x)\Delta x^2\right) -\psi(x-\Delta x)\left(1-\frac{1}{12} g(x-\Delta x)\Delta x^2 \right)}{{1-\frac{1}{12}\Delta x^2g(x+\Delta x)}}+\mathcal{O}(\Delta x^6)

Mit diesem Verfahren kann man die quantisierten Energieniveaus finden indem man nur die Energien zulässt, bei welchen in den klassisch verbotenen Bereichen die Wellenfunktion gegen null konvergiert.

Alternativ kann man von rechts nach links und von links nach rechts nummerisch integrieren und die Ergebnisse vergleichen.

5.8 Erwartungswerte und Operatoren

$\int_\text{ges Raum}\left|\psi(x)\right|^2\text{d}x=1$

Erwartungswert:

\bar{x}=\langle \hat{x}\rangle=\int_{-\infty} ^\infty xP(x)\text{d} x=\int_{-\infty} ^\infty x\left| \psi (x)\right|^2\text{d} x = \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x)\hat{x}\psi(x)\text{d}x\\ \overline{x^2}= \langle \hat{x}^2 \rangle = \int _{-\infty}^\infty \psi^*(x) \hat{x}^2\psi(x)\text{d}x

Standardabweichung:

\begin{align} \Delta x &=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x)\underbrace{(x-\bar{x})^2}_{x^2-2x\bar{x} + \bar{x}^2} \psi(x)\text{d}x}\\ &=\sqrt{\int_{-\infty}^\infty \psi^* (x) x^2 \psi(x) \text{d}x - 2\bar{x}\int_{-\infty}^\infty \psi^* (x) x \psi(x) \text{d}x+\bar{x}^2\underbrace{\int_{-\infty}^\infty \psi^* (x) \psi(x) \text{d}x}_{=1}}\\ &=\sqrt{\, \overline{x^2} - 2\bar{x}\bar{x}+ \bar{x}^2}=\sqrt{\, \underbrace{\overline{x^2}}_\text{Mittelwert des Quadrates} - \underbrace{\bar{x}^2}_\text{Quadrat des Mittelwertes}} \end{align}

Beispiel:

\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}(2\pi)^\frac{1}{4}} e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\varepsilon^2}}\\ \bar{x}= \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x)x\psi(x)\text{d}x =\frac{1}{\varepsilon\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x e^{-\frac{(x-x_0)^2}{2\varepsilon^2}}\text{d}x=x_0\\ \overline{x^2}= \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x)x^2\psi(x)\text{d}x=\frac{1}{\varepsilon\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-\frac{(x-x_0)^2}{2\varepsilon^2}}\text{d}x= x_0^2+\varepsilon ^2\\ \Rightarrow \Delta x =\sqrt{\,\overline{x^2}-\bar{x}^2}= \sqrt{x_0^2+\varepsilon^2-x_0^2}= \varepsilon

$\overline{f(x))} \neq f(\bar{x})$

$f(x)=x^2$ $f(\bar{x})=0$ $\overline{f(x)}>0$

Impulsoperator

Annahme: $A(k)$ $\psi(x)$ $k$ .

Fouriertransformation:

\begin{align} \psi(x)&=\int_{-\infty }^\infty A(k)e^{ikx}\text{d}k\\ A(k)&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^\infty \psi(x)e^{-ikx}\text{d}x \end{align}

$\bar{x} = \int_{-\infty }^\infty \psi^*(x)x\psi(x)\text{d}x$ $\bar{k} = \underbrace{2\pi}_\text{wegen normierung}\int_{-\infty }^\infty A^*(k)kA(k)\text{d}k$

$\int \left| A(k) \right|^2dk=\frac{1}{2\pi}$ )

$p=\hbar k \Rightarrow \bar{p}$

$\bar{k}$ $\psi$ $\psi^*$ dar:

\begin{align} \bar{k}&=\frac{2\pi}{(2\pi)^2}\int_{-\infty}^\infty \text{d}k\left(\int_{-\infty}^\infty \psi(x')e^{-ikx'}\text{d}x' \right)^* \cdot k \cdot \left( \int_{-\infty}^\infty\psi(x)e^{-ikx}\text{d}x\right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \text{d}k \int_{-\infty}^\infty \text{d}x \int_{-\infty}^\infty \text{d}x' k\psi^*(x')e^{ikx'}\underbrace{\psi(x)e^{-ikx}}_\text{(i)} \end{align}

Betrachte (i):

\int_{-\infty}^\infty\psi(x)e^{-ikx}\text{d}x= \int_{-\infty}^\infty\underbrace{\psi(x)}_u\underbrace{ \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{i}{k}e^{-ikx}\right)}_{v'} \text{d}x\\ =\underbrace{\left.\underbrace{\psi(x)}_u\cdot\underbrace{\frac{i}{k}e^{-ikx}}_v\right|_{-\infty}^\infty}_\text{(ii)} - \int _{-\infty}^\infty \underbrace{\frac{\text{d}\psi(x)}{\text{d}x}}_{u'}\underbrace{\frac{i}{k}e^{-ikx}}_v\text{d}x

$\psi(x)$ $\pm\infty$ $=0$ .

\Rightarrow \bar{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\psi^*(x') e^{+ikx'}(-i)\frac{\text{d}\psi(x)}{\text{d}x}e^{-ikx}\text{d}x\text{d}x'\text{d}k\\ \lim_{b\rightarrow\infty}\int _{-b}^be^{+ik(x'-x)}\text{d}k=\lim_{b\rightarrow\infty}\frac{e^{ib(x'-x)}-e^{-ib(x'-x)}}{i(x'-x)}=\lim_{b\rightarrow\infty}\frac{2\sin((x'-x)b)}{(x'-x)}=2 \pi \delta(x'-x)

\Rightarrow \bar{k}=\frac{2\pi}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x')\delta (x'-x)(-i)\frac{\text{d}\psi(x)}{\text{d}x}\text{d}x'\text{d}x\\=\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x)(-i)\frac{\text{d}\psi(x)}{\text{d}x}\text{d}x\\ \bar{p}=\hbar\bar{k}=\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x) \underbrace{\left(-i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}x} \right)}_{:=\hat{p}}\psi(x)\text{d}x\\ \boxed{\hat{p}=-i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}x}}

In 3D:

\boxed{\hat{p}=-i\hbar \nabla}

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