Vorlesung_21_20171123

5.6 Endlich tiefer Potentialtopf

U(x)=\begin{cases}0 &\text{, für } 0\leq x\leq L \\ U_0&\text{, für } x<0, x>L\end{cases}

\text{SGL: }\frac{\text{d}^2 \psi(x)}{\text{d}x^2}= \frac{2m(U(x)-E)}{\hbar^2}\psi(x)

$U(x)=0\Rightarrow U(x)-E< 0$ : Überlagerung von sin & cos ist Lsg. Jetzt beide Zulässig, da Potential im verbotenen Bereich nicht gegen unendlich geht. Daher ist Tunneln erlaubt.

$U(x)= U_0>E\Rightarrow$ $e^{-\alpha x}$ $e^{\alpha x}$

$0\leq x\leq L$

\text{SGL: }\frac{\text{d}^2 \psi(x)}{\text{d}x^2}= -k^2\psi(x),\ k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}

$\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $\psi(0)$ $\psi(L)$ ungleich 0 sein darf.

$\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$

$A$ $B$ über Stetigkeit und Stetigkeit der 1.Ableitungen.

$x<0$ $U(x)=U_0$

\text{SGL: }\frac{\text{d}^2 \psi(x)}{\text{d}x^2}= \frac{2m(U_0 -E)}{\hbar^2}\psi(x)\\ \frac{\text{d}^2 \psi(x)}{\text{d}x^2}=\alpha^2 \psi(x)\\ \alpha = \sqrt{\frac{2m(U_0 -E)}{\hbar^2}}\\ \text{Lösung: } \psi(x)= Ce^{+\alpha x}+De^{-\alpha x}

$x\rightarrow -\infty$ $\Rightarrow D=0$

$x>L$

\psi(x)=Fe^{+\alpha x}+Ge^{-\alpha x}

$x\rightarrow \infty$ $\Rightarrow F=0$

Gesamtlösung:

\psi(x)=\begin{cases} Ce^{ax} &\text{, }x<0\\A\sin(kx)+B\cos(kx) &\text{, } 0\leq x\leq L \\ Ge^{-\alpha x} &\text{, } x>L\end{cases}

$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ $\alpha = \sqrt{\frac{2m(U_0 -E)}{\hbar^2}}$

$A,B,C,G$ $\psi(x)$ $\psi'(x)$ $0$ $L$ stetig sein müssen:

$\left.\psi(x)\right|_{x=0}$ stetig:

\psi_\text{(II)}(0)=\psi_\text{(I)}(0)\Rightarrow C\underbrace{e^{\alpha \cdot 0}}_{1}= A\cdot \underbrace{\sin(k\cdot 0)}_{0} + B\underbrace{\cos(k\cdot 0)}_{1}\Rightarrow C=B \ \ (i)

$\left.\frac{\text{d} \psi(x)}{\text{dx}}\right|_{x=0}$ stetig:

\left.\frac{\text{d} \psi_{II}(x)}{\text{dx}}\right|_{x=0}=\left.\frac{\text{d} \psi_{III}(x)}{\text{dx}}\right|_{x=0}\Rightarrow \alpha C\underbrace{e^{\alpha \cdot 0}}_{1}= k A\underbrace{\cos(k\cdot 0)}_{1}-kB\underbrace{\sin(k\cdot 0)}_0\Rightarrow \alpha C=kA\ \ (ii)

$\left.\psi(x)\right|_{x=L}$ stetig:

\psi_\text{(III)}(L)=\psi_\text{(I)}(L)\Rightarrow Ge^{-\alpha \cdot L}= A\cdot \sin(k\cdot L) + B\cos(k\cdot L)\ \ (iii)

$\left.\frac{\text{d} \psi(x)}{\text{d}x}\right|_{x=L}$ stetig:

\left.\frac{\text{d} \psi_{I}(x)}{\text{dx}}\right|_{x=L}=\left.\frac{\text{d} \psi_{III}(x)}{\text{dx}}\right|_{x=L}\Rightarrow -\alpha Ge^{-\alpha \cdot L}= k A\cos(k\cdot L)-kB\sin(k\cdot L)\ \ (iiii)

$(i)\rightarrow (ii)\Rightarrow A=\frac{\alpha C}{k}$ $(iii)$ $(iiii)$ :

\frac{\alpha}{k}C\sin(k L)+C\cos(k L)= Ge^{-\alpha L}\\ k\frac{\alpha}{k}C \cos (kL) - kC \sin(kL) =-\alpha G e^{-\alpha L}\;|:-\alpha\\

gleichsetzen der linken Seiten ergibt:

\frac{\alpha}{k}C \sin(k L)+C\cos(kL)=-C\cos(kL)+\frac{k}{\alpha}C\sin(kL) \;|:c\sin(kL)

transzendente Gleichung

\Rightarrow 2\underbrace{\cot(kL)}_{\frac{\cos}{\sin}}=\frac{k}{\alpha} - \frac{\alpha}{k}

$k$ $\alpha$ einsetzen:

2 \cot(k L)=\sqrt{\frac{E}{U-E}}-\sqrt{\frac{U-E}{E}}

... (herleitung siehe link im Moodle)

Quadrieren

4\frac{\cos^2(kL)}{\sin^2(kL)}=\frac{E}{U-E}-2+\frac{U-E}{E}

$U_0$

U_0=\begin{cases}\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\frac{1}{\cos^2(\frac{kL}{2})},\ (n-1)\pi<kL < n\pi,\ n= \text{ungerade}\\\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\frac{1}{\sin^2(\frac{kL}{2})},\ (n-1)\pi<kL < n\pi,\ n= \text{gerade} \end{cases}

$\psi(x)\propto e^{\pm\alpha x} \Rightarrow$ Eindringtiefe

\delta = \frac{1}{\alpha} = \frac{\hbar}{\sqrt{2m(U_0 - E)}}