Vorlesung_20_20171120

5. Gebundene Zustände

http://adventure.zdv.uni-mainz.de/modernphysics/infpotwell/final.html (stationäre Zustände erklären, Erwartungswert ist immer 0, daher keine Abstrahlung, überlagerungszustände erzeugen abstrahlung,kein Energieeigenzustand)

Abbildung der Wellenfunktion, Atome wurden im Kreis angeordnet und man sieht im Rastertunnelmikroskop Wellenfunktion im Zentrum.

ohne äußeren Kräfte:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi (x,t)}{\partial x^2}=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}

$\Psi (x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)}$

\text{Einsetzen: } -\frac{\hbar^2}{2m}(ik)^2Ae^{i(kx-\omega t)}= -i^2\hbar\omega Ae^{i(kx-\omega t)}\\ \frac{\hbar^2k^2}{2m}\Psi(x,t)= \hbar\omega \Psi(x,t)

$p=\hbar k$ $E=\hbar \omega$

\Rightarrow \frac{p^2}{2m}\Psi(x,t)= E\Psi(x,t)\\ E_\text{kin}\Psi(x,t)= E\Psi(x,t)

Hinzufügen der potentiellen Energie

\left(E_\text{kin}+ U(x,t) \right)\Psi(x,t)= E\Psi(x,t)\\ \Rightarrow \text{SGL: } \boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi (x,t)}{\partial x^2}+U(x,t)\Psi(x,t)=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}}

Bsp:

Separationsansatz $U(x,t) = U(x)$

\Rightarrow \Psi(x,t)= \psi(x)\Phi(t)\\ \Rightarrow \text{SGL: }-\frac{\hbar^2}{2m}\Phi(t)\frac{\partial ^2 \psi (x)}{\partial x^2}+U(x)\psi(x)\Phi(t)=i\hbar \psi(x)\frac{\partial \Phi(t)}{\partial t}

$\frac{1}{\psi(x)\Phi(t)}$

\underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi(x)}\frac{\partial ^2 \psi (x)}{\partial x^2}+U(x)}_\text{nur von x abhängig}=\underbrace{i\hbar\frac{1}{\Phi(t)}\frac{\partial \Phi(t)}{\partial t}}_\text{nur von t abhängig}

$f(x)=g(t) \forall x,t \Rightarrow f(x)=g(t)=C$

$i\hbar\frac{1}{\Phi(t)}\frac{\partial \Phi(t)}{\partial t}=C$

i\hbar\frac{1}{\Phi(t)}\frac{\partial \Phi(t)}{\partial t}=C\\ \frac{\partial \Phi(t)}{\partial t}=-\frac{iC}{\hbar}\Phi(t)\\ \Rightarrow \Phi(t) = e^{-i\frac{C}{\hbar}t}

$U(x)=0$ $\Rightarrow C=E_\text{ges}$

\Psi(x,t)=\phi(x) \cdot e^{-i(E/\hbar)t}

\left| \Psi(x,t)\right|^2 = \Psi ^*(x,t)\cdot \Psi(x,t)=\left[\psi^*(x)e^{+i\frac{E}{\hbar}t}\right]\left[\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}\right]=\psi^*(x)\cdot \psi(x) =\left|\psi(x)\right|^2

$\Rightarrow$ stationärer Zustand

Zeitunabhängige Schrödingergleichung:

\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x)}\\\text{Normierung: }\int_\text{ges Raum}\left|\psi(x)\right|^2\text{d}x=1

$E\rightarrow \infty$ $p\rightarrow \infty$ :

$0<x<L$

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}=E\psi(x)\\ \frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}=-\underbrace{\frac{2mE}{\hbar^2}}_{k^2}\psi(x)\\ \Rightarrow k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}

$\Rightarrow \psi(x)=A\sin(kx)$ $\cos(kx)\neq 0$ $x=\{0,L\}$ ↯

$U(x)=\infty$ $x\leq0$ $x\geq L$

Es muss gelten

\psi(0) = 0=\psi(L)\Rightarrow A\sin(k\cdot L)= 0\Rightarrow kL=n\pi

Quantisierung der Energie:

\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}L=n\pi\\ \Rightarrow E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}=E_\text{kin}\\ \psi(x)=\begin{cases} A\cdot\sin(\frac{n\pi x}{L})&\text{, für } 0\leq x\leq L\\0&\text{, sonst}\end{cases}

$A$ aus Normierung:

\int_{-\infty}^\infty\left| \psi(x,t)\right|^2\text{d}x= \int_0^L A^2\cdot \sin^2(\frac{n\pi x}{L})\text{d} x =A^2\frac{L}{2}=1\\ \Rightarrow A =\sqrt{\frac{2}{L}}\\ \psi(x)=\begin{cases}\sqrt{\frac{2}{L}} \cdot\sin(\frac{n\pi x}{L})&\text{, für } 0<x<L\\0&\text{, sonst}\end{cases}

Man kann Eigenzustände auch mit einem nummerischen Verfahren berechnen.

siehe Numerov...