4.4.3 Unbestimmtheitsprinzip in 3D

4.4.2a Beispiel: Unschärferelation beim Wasserstoffatom

Radius: $r= 0,1$ nm

$\Rightarrow \Delta x\sim r$

$\Delta v= ?$

$\Delta p_x \cdot \Delta x\geq \frac{\hbar}{2} \Rightarrow \Delta p_x\geq\frac{1,055\cdot 10^{-34}\text{Js}}{2\cdot 10^{-10}\,\text{m}}=5,3\cdot 10^{-25}\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$p=m\cdot v\Rightarrow \Delta v_x =\frac{\Delta p_x}{m_\text{el}}=5,8\cdot 10^5\frac{\text{m}}{\text{s}}\sim 0,001 c$

Beispiel: Energie des Elektrons

klassisch Energie (falsch!) $E=\frac{mv^2}{2}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{-e^2}{r}$

$F=m\cdot a\Rightarrow a=\frac{v^2}{r}$ Zentripetalbeschleunigung

$\underbrace{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}}_{\text{Coul.}}=\underbrace{\frac{v^2}{r}}_\text{Zentrifugal.} \Rightarrow v^2=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0mr}$

$E_{kl} = \underbrace{\frac{m}{2}(\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m r})}_\text{kinetisch} - \underbrace{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}}_\text{potentielle} = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r}$

klassisch:$\Rightarrow e^-$ würde in den Kern stürzen $\huge\unicode{x21af}$

QM: Unschärferelation

$r\approx \Delta r$, da $\bar x = 0$ und $p\approx \Delta p$, da $\bar p = 0$

Annahme $\Delta r \cdot \Delta p\approx \hbar$

$\Rightarrow p=\frac{\hbar}{r}$

$v=\frac{\hbar}{mr}$

$E_\text{QM}=\frac{1}{2} m(\frac{\hbar}{mr}) ^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r}=\frac{\hbar}{2mr^2}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

$r_0=a_0$ aus $\frac{\text{d}E_\text{QM}}{\text{d}r}=0=-\frac{\hbar^2}{mr^3}+\frac{e^2}{4\pi\epsilon _0 r^2}$

$\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}=\frac{\hbar^2}{m r^3}$ $|\cdot r^2$

Bohrsche Radius

$\Rightarrow a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2 }{me^2}=5,3\cdot 10^{-11}$m

$E(a_0)=13,6$eV

Annahme $\Delta r \Delta p \simeq \hbar$ war gut gewählt.

Achtung: Streng genommen gilt Unschärferelation nur für die gleiche Komponenten $x,y,z$, hier vergleicht man Tangentialimpuls mit Radius.

Wir werden sehen, dass das Elektron in der Regel nicht auf einer Kreisbahn läuft sondern in Orbitale.

4.4.4 Unbestimmtheitsprinzip für Energie und Zeit

Oben: $p=\hbar k=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{\Delta x}, \text{ mit } k=\frac{2\pi}{\lambda}$

analog: $E=\hbar \omega=\frac{h}{\Delta T}, \text{ mit } \omega= \frac{2\pi}{T}$

Annahme: $\Delta E\Delta t \geq\frac{\hbar}{2}$

Das heißt, existiert Zustand/ Teilchen nur kurz $\Rightarrow$ Energie unscharf $\Rightarrow$ Natürliche Linienverbreiterung von Spektrallinien

Beispiel: Wasserstoff

Übergang mit $\lambda = 656$nm $\tau = 10\,\text{ns}=\Delta t$. Gesucht: $\Delta \lambda$

$\Delta E \cdot \Delta t = \frac{\hbar}{2}\Rightarrow \Delta f = \frac{\Delta E}{h}=\frac{1}{4\pi \Delta t}=8\,\text{MHz}$

$f=\frac{c}{\lambda}$ aber $\bcancel{\Delta f=\frac{c}{\Delta \lambda}} \huge\unicode{x21af}$

$\Delta f = \frac{\partial f}{\partial \lambda}\Delta \lambda= \frac{c}{\lambda^2}\Delta \lambda \Rightarrow \Delta \lambda =\frac{\lambda^2}{4\pi c\Delta t}=1,1\cdot 10^{-14}\,\text{m}$

4.6 Bohrsches Atommodell

Niels Bohr 1922 Nobelpreis

$\Rightarrow$ 1) $v^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m}\frac{1}{r}$

Energie (eigentlich falsch): $E_{kl}=\frac{1}{2}m\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mr} \right)-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}=-\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}$

Bohrsche Postulat:

Wellenfunktion muss konstruktiv interferieren.Umfang: $2\pi r=n\lambda$, $n\in \mathbb{N}$

De Broglie: $\lambda = \frac{h}{p}\Rightarrow 2\pi r= n\frac{h}{p}$

$r p = n \hbar$

2) $\underbrace{rmv}_L=n\hbar$

1) in 2)

mit Bohrradius $a_0=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m e^2}=0,0529nm$

in $E_{kl}$ einsetzen

mit n=1,2,3,... und Z, der Kernladungszahl (für Wasserstoff: Z=1)