de Broglie Wellenlänge von klassischen Gegenständen

klassisch $\lambda_\text{DB}$ sehr klein

Beispiel: Passagierflugzeug

4.3 Schrödingergleichung (SGL) für freies Teilchen

analog Wellen auf Seil

$v^2\cdot \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}$

Lösung alle periodische Funktionen z.B.: $y(x,t)=A\cdot \text{sin}(k\cdot x -\omega \cdot t)$ mit $\frac{\omega}{k}=v$

Elektromagnetische Wellen: $\frac{\partial^2 \vec{E}(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}(x,t)}{\partial t^2}$

$\Rightarrow \vec{E}(x,t)=A \; \text{sin}(k\cdot x - \omega \cdot t)\cdot \hat{e}_y$ und $\vec{B}(x,t)=\frac{A}{c}\text{sin}(k\cdot x - \omega t)\cdot \hat{e}_z$ mit $\frac{\omega}{k}=c$

bei Materiewellen: $\frac{\partial^2 \Psi (x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \Psi (x,t)}{\partial t^2}$

Ansatz: $\Psi (x,t)=\Phi (x)\cdot \mathcal{F}(t)$

Beim $\vec{E}$-Feld: $E=h\cdot \nu =\hbar \cdot \omega$ mit $\hbar = \frac{h}{2\cdot \pi}$

$\Rightarrow$ Zeitabhängigkeit der ebenen Welle: $\mathcal{F}(t)=e^{-i\omega t}=e^{-i\frac{E t}{\hbar}}$

Einsetzen in DGL:

$\frac{d^2 \Psi (x)}{dx^2}=-\frac{\omega^2 }{v^2}\Phi (x)$

Gesamtenergie eines freien Teilchens: $E=\frac{p^2}{2m}$ $\Rightarrow$ $p=\sqrt{2\cdot m\cdot E}$

De Broglie: $\lambda = \frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2mE}}$

$\omega = 2\pi f$, $f\cdot \lambda = v$ $\Rightarrow \frac{\omega^2}{v^2}=\frac{4\pi^2 f^2}{v^2}=\frac{4 \pi^2}{\lambda^2}=\frac{2mE}{\hbar^2}$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d ^2\Phi(x)}{dx^2}=E\Phi(x)$ zeitunabhängige eindimensionale SGL

Mit $\Psi(x,t)=\Phi(x)\cdot \mathcal{F}(t)$ und $\mathcal{F}(t)=exp\left(\frac{-iEt}{\hbar}\right)$

$\Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=i\hbar \frac{\partial \Psi (x,t)}{\partial t}$ zeitabhängige eindimensionale SGL für freies Teilchen (vgl. Hamiltonian aus klassischen Mechanik)

Interpretation Wahrscheinlichkeitsdichte

$P(x)=\left|\Psi(x,t)\right|^2=\left|\text{Re} \Psi(x,t)\right|^2+\left|\text{Im}\Psi(x,t)\right|^2=\Psi^*(x,t)\cdot \Psi(x,t)$

$z:=x + iy \in \mathbb{C}$, dann ist $z^*\cdot z=(x-iy)\cdot (x+iy)=x^2 +\bcancel{xiy}-\bcancel{xiy} + y^2= \left|z\right|^2$

$\Psi (x,t) = \text{Re}(\Psi (x,t))+ i \text{Im}(\Psi (x,t))$

Einheiten: $\Psi (x,t)$ in 1D: $\frac{1}{\sqrt{m}}$ in 2D: $\frac{1}{(\sqrt{m})^2}$ in 3D: $\frac{1}{(\sqrt{m})^3}$

Bsp.: Ebene Welle:

Lsg. $\Psi (x,t) = A\cdot e^{i(kx-\omega t)}=A(\cdot \cos(kx-\omega t)+i \sin(kx-\omega t))$

Einsetzen in SGL: $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 A\cdot e^{i(kx-\omega t)}}{\partial x^2}=i\hbar \frac{\partial (A\cdot e^{i(kx-\omega t)})}{\partial t}$

$-\frac{\hbar^2}{2m}(ik)^2 \bcancel{A\cdot e^{i(kx-\omega t)}}=i\hbar (-i\omega)\bcancel{A\cdot e^{i(kx-\omega t)}}$

$\Rightarrow \frac{\hbar^2k^2}{2m}=\hbar \omega$ mit $p=\hbar k$ und $E=\hbar\omega$ folgt:

$\frac{p^2}{2m}=E$

allerdings $|\Psi (x,t)|^2 = a^2 =const \Rightarrow$ $\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2dx\rightarrow \infty$ nicht normierbar $\Rightarrow$ unphysikalisch, aber gute Näherung für freies Teilchen

4.4 Unbestimmtheitsprinzip mit Standardabweichung

Mittelwert: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$

Standardabweichung: $\Delta x = \sqrt{\frac{\sum_i (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_i n_i}}$

Wenn alle $x_i=\bar{x} \Rightarrow \Delta x = 0$

Je schmaler $\Delta x$ destso breiter wird Impulsverteilung $\Delta p$

Wir werden mit der def. der Standardabweichung zeigen:

Heisenberg'sche Unschärferelation 1932 Nobelpreis

Aufgrund Wellennatur des Teilchens $\Rightarrow$ Ort & Impuls nicht beliebig genau bestimmbar

Bsp: Gaußsches Wellenpaket

Nur für das Gaußsche Wellenpaket gilt: $\Delta x \cdot \Delta p_x= \frac{\hbar}{2}$

$\left|\Psi(x)\right|^2=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \Delta x}}e^{-\frac{x^2}{2 \Delta x^2}}$

Ebene Welle:

$p=\hbar k$ exakt $\Delta p=0 \Rightarrow \Delta x= \infty$ d.h. $\lambda$ und $p$ genau definiert

Endlich ausgedehnte Welle:

$\Delta x$ endlich $\Rightarrow$ $\Delta p$ auch endlich

Genau lokalisiertes Teilchen:

$\Delta x$ genau, $\Delta p=\infty$ komplett undefiniert