4. Welleneigenschaften von Teilchen

Materie kann sich wie eine Welle verhalten

Normalerweise verborgen, da Wellenlänge sehr klein ist

Erste Hinweise: 1927 Davisson und Germer

Elektronenreflexion an Metalloberfläche

Metall: Kristallstruktur mit regelmäßigen angeordneten Atomen

Beobachtung

Analog zu Bragg'sche Gesetz für Röntgenstrahlung (W. H. und W. L. Bragg 1915 Nobelpreis)

$2\cdot d\cdot\sin(\vartheta)=n\cdot \lambda$

4.1 Materiewelleninterferometrie

Elektronen: DeBroglie 1924

$\lambda = \frac{h}{p}$ mit $p=\frac{m\cdot v}{\sqrt{1-\frac{v}{c}^2}}\simeq m v$

Beobachtung:

Wie beim Licht

Wenn man die Wellennatur von Teilchen beobachtet, dann ist das Amplitudenquadrat der Wellenfunktion $\Phi(x)$ die Wahrscheinlichkeit $P(x)dx$ Teilchen im $x \rightarrow x+dx$ zu detektieren

$P(x)\propto \left|\Phi(x)\right|^2$

Verhalten sich Atome genauso?

Problem bei 300K: $\lambda_\text{DB}\approx pm$

Lasergekühlte Neon-Atome mit in magnetooptischer Falle $T=2,5\,$mK $\Rightarrow \lambda_\text{DB}(2,5\,\text{mK})=10^3 \lambda_\text{DB}(300\,\text{K})$

Extraktion durch Laser mit $\lambda =598\,$nm $\Rightarrow$ Metastabil angeregt $\Rightarrow$ nicht gefangen

v=1,5$\frac{\text{m}}{\text{s}}\Rightarrow \lambda_\text{DB}=$30$\,$nm

Vorteil metastabile Zustände erzeugen höheres Detektorsignal

Interferenz von C60-Moleküle:

Fullerene $\varnothing\sim 7\cdot 10^{-10}\,$m bei 1000$\,$K in Ofen erzeugt

Gitter mit 50$\,$nm Spaltgröße und 100$\,$nm Spaltabstand

Detektion durch 1$\,\mu$m fokussierten Laser und Ionendetekor

Fullerene senden Schwarzkörperstrahlung aus und sind Vibrationsangeregt $\Rightarrow$ Welche-Weg-Information wenn heiß genug

Bei $T=900\,$K$\Rightarrow$ Emisson von 2-3 infrarot Photonen mit $\lambda= 7-19\,\mu$m

$\Rightarrow \lambda_\textrm{Photonen} >$ Spaltabstand $\Rightarrow$ Interferenz

bei höheren Temperatur: $\lambda <$ Spaltabstand=> Welche-Weg-Information möglich zu erhalten $\Rightarrow$ verschwinden der Interferenz

Welchen Weg geht Elektronen? (nach Feynman-lectures)

Annahme A: $e^-$ geht entweder durch 1 oder 2

Licht aus

$P_{1, 2}(0)=2( P_1(0)+P_2(0))$ $\huge\unicode{x21af}$ zu A

$P_{1, 2}(x')=0$

Wenn ein Loch zu $\Rightarrow$ Rate geht hoch $\huge\unicode{x21af}$ zu A

Kopenhagener Interpretation der QM: Teilchen besitzen keinen genauen Ort bis experimentell lokalisiert

Licht an: $\lambda_\text{L} < d$

hell: Lichtblitze lokalisieren $e^-$

$\Rightarrow$ Interferenz verschwindet A: ok

dunkler: Manche Photonen verfehlen $e^- \Rightarrow$ Interferenz

Wenn Lichtblitz $\Rightarrow$ keine Interferenz

Licht hell aber langwellig: $\lambda_\text{L} > d \Rightarrow$ Interferenz, aber Lokalisierung unmöglich

Heisenberg Mikroskop

Mit Mikroskopobjektiv schauen wir Doppelspalt an:

Extrema bei $d\cdot$sin($\theta$)=$\frac{n\cdot\lambda_\text{DB}}{2}$ mit $P_\text{DB}=\frac{h}{\lambda_\text{DB}} \Rightarrow d \;\text{sin}(\theta) =\frac{n\cdot h}{2\cdot P_\text{DB}}$

Erstes Minimum bei $n=1$: sin$(\theta_\textrm{min})=\frac{h}{2\cdot d\cdot P_\text{DB}}$ (i)

Abbe: $d > \frac{\lambda_\text{L}}{2\cdot \text{sin}(\alpha)}$ (2 von Kondensor: Belichtung mit Linse)

Maximaler Öffnungswinkel: $\alpha=90$° $\Rightarrow d>\frac{\lambda_\text{L}}{2}$

Photon zur Ortsbestimmung hat Impuls $\Rightarrow$ Winkelveränderung des $e^-$

Impuls des Lichts:

$P_\text{L}=\frac{h}{\lambda_\text{L}}$

Winkelveränderung wegen Compton effekt:

sin($\theta_2)\approx \text{tan}(\theta_2)=\frac{P_\text{L}}{P_\text{DB}}=\frac{h}{\lambda_\text{L}\cdot P_\text{DB}}$ (ii)

Damit man Ortsinformation erhält muss $\lambda_\text{L} < 2\cdot d$ einsetzen in (ii) $\Rightarrow \text{sin}(\theta_2)>\frac{h}{2\cdot d\cdot P_\text{DB}}$ (iii)

vergleich mit (i) $\Rightarrow \theta_2>\theta_\textrm{min}$ Photon lenkt erstes Maximum ins erstes Minimum $\Rightarrow$ Interferenz verschwindet

Dass heißt Ortsmessung verwischt Impulsmessung

$d\widehat{=}\Delta x$

$\Delta p_x=2\cdot P_\text{L}=2\cdot P_\text{DB}\cdot \text{sin}(\theta_2)$

mit (iii) $\Rightarrow \Delta x\cdot \Delta p_x > h$

weil $\Delta x, \Delta p_x$ keine mathematisch exakten Varianzen sind entspricht das Ergebniss nicht der Heisenberg'schen Unschärferelation: $\Delta x\cdot \Delta p_x\geq\frac{h}{4\cdot \pi}$