3.4 Compton-Effekt

Streuung von Röntgenstrahlung an freien $e^-$

Vor Stoß:

$p_\text{ph} = \frac{h}{\lambda} ; p_e = 0$

$E_\text{ph}=\frac{hc}{\lambda} ; E_e =m_e c^2$

Nach Stoß:

$p'_\text{ph} = \frac{h}{\lambda '} ; p_e'=\gamma_u m_e u$

mit $\gamma_u=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

$E'_\text{ph}=\frac{hc}{\lambda}; E_e '=\gamma_u m_e c^2$

Klassische Erwartung (falsch): Klassische Wellentheorie

$\Rightarrow$ em Strahlung in alle Richtung, keine Frequenzänderung (falsch!)

Beobachtung: Compton: Sofortige Abstrahlung von langwelligeren Röntgenstrahlen in Einklang mit klassischer Stoßtheorie

Erklärung: Röntgenstrahlen sind auch Photonen.

Photon: aus Relativitätstheorie: $E=p\cdot c$ (Ruhemasse von Photon = 0)

aus EM Wellentheorie: $\frac{E}{Vol.}=\frac{p\cdot c}{Vol.}$

$\Rightarrow p= \frac{E}{c}=\frac{h\cdot f}{c}=\frac{h}{\lambda}$

Aus Impulserhaltung:

1.) $p_{\text{ph}_x}=p'_{\text{ph}_x} + p'_{\text{el}_x} \Rightarrow \frac{h}{\lambda}=\frac{h}{\lambda '}\cdot \text{cos}(\vartheta ) + \gamma_u m_e u\cdot \text{cos}(\varphi)$

2.) $p_{\text{ph}_y}=p'_{\text{ph}_y} + p'_{\text{el}_y} \Rightarrow 0=\frac{h}{\lambda '}\cdot \text{sin} (\vartheta ) - \gamma_u m_e u\cdot \text{sin}(\varphi)$

Energieerhaltung:

3.) $E_\text{ph} + E_\text{el} = E_\text{ph}' + E_\text{el}' \Rightarrow \frac{h c}{\lambda}+m_e\cdot c^2=\frac{hc}{\lambda '}+\gamma_um_ec^2$

1.)$\Rightarrow\ \frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '}\text{cos}(\vartheta)=\gamma_u m_eu\cdot \text{cos}(\varphi)\ |(\ )^2$

2.)$\Rightarrow\ \frac{h}{\lambda '} \text{sin}(\vartheta )=\gamma_u m_e u\cdot \text{sin}(\varphi)\ |(\ )^2$

Durch Addition folgt:

$\frac{h^2}{\lambda^2}-\frac{2 h^2}{\lambda \lambda'}\cdot \text{cos}(\vartheta ) +\frac{h^2}{\lambda'^2}\cdot \text{cos}^2(\vartheta )+\frac{h^2}{\lambda'^2}\cdot \text{sin}^2(\vartheta) = (\gamma_u m_e u)^2 \underbrace{(\text{cos}^2(\varphi) + \text{sin}^2(\varphi))}_{1}$

$\Rightarrow$ 5.) $\frac{h^2}{\lambda^2} - \frac{2h^2}{\lambda\lambda'}\text{cos}(\vartheta)+\frac{h^2}{\lambda'^2}= (\gamma_u m_e u)^2$

Energieerhaltung $\frac{\text{3.)}}{c}\ :h\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)+m_ec=\gamma_u m_e c$ (4)

Quadrieren $(4)^2$: $\Rightarrow \text{6.):}\ \frac{h^2}{\lambda^2} -\frac{2h^2}{\lambda\lambda'}+\frac{h^2}{\lambda'^2}+2h\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)m_e c+m_e^2 c^2=(\gamma_u m_e c)^2$

6.) - 5.): $-2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\left( 1-\text{cos}(\vartheta)\right)+2h\left( \frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)m_e c + m_e^2c^2=\gamma_u^2m_e^2c^2 \underbrace{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)}_{= \gamma_u^{-2}}$

mit $\gamma_u^2\cdot\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)=1 \Rightarrow\ -\frac{2h^2}{\lambda\lambda'}\left(1-\text{cos}(\vartheta)\right)+2h\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\right)m_e c= 0\ \ |\cdot\frac{\lambda\lambda'}{2h^2}$

$\Rightarrow\ -(1-\text{cos}(\vartheta))+(\lambda'-\lambda)\frac{m_e c}{h}=0\ \Rightarrow (\lambda'-\lambda)=\frac{h}{m_e c}(1-\text{cos}(\vartheta))$

Compton Nobelpreis 1927

maximale Verschiebung bei Rückstreuung $\vartheta = 180^\circ$

Beispiel:

$\lambda = 0,05\,$nm, $\vartheta_\text{ph}=90^\circ$

$\varphi_\text{el}=?$ $p_\text{el}=?$ $\Delta \lambda = ?$

$p_\text{ph}=\frac{h}{\lambda}=\frac{6,63\cdot 10^{-34}\,\text{Js}}{0,05\cdot 10^{-9}\,\text{m}}=1,33\cdot 10^{-23}\,\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}$

$\Delta \lambda = \lambda'-\lambda= \frac{6,63\cdot 10^{-34}\,\text{Js}\ }{9,11\cdot 10^{-31}\,\text{kg} \cdot \ 3\cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}\cdot (1-\underbrace{\text{cos}(90^\circ)}_{=0} )\Rightarrow\ \lambda'=0,0524\,\text{nm}$

$\Rightarrow$ gestreutes Photon

$p'=\frac{h}{\lambda'}=\frac{6,63\cdot 10^{-34}\,\text{Js}}{0,0524\cdot 10^{-9}\,\text{m}}=1,26\cdot 10^{-23}\,\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Streuwinkel über Impulserhaltung:

$p_x:\ \ \frac{h}{\lambda}=\frac{h}{\lambda'}\cdot\underbrace{\text{cos}(90^\circ)}_{=0}+\gamma_u m_e u\cdot \text{cos}(\varphi)$

$\Rightarrow \frac{h}{0,05\,\text{nm}}=\gamma_um_e u\cdot \text{cos}(\varphi )$

$p_y:\ \ 0=\frac{h}{\lambda'}\cdot \underbrace{\text{sin}(90^\circ)}_{=1}-\gamma_um_eu\cdot \text{sin}(\varphi)\Rightarrow \frac{h}{0,0524\,\text{nm}}=\gamma_um_eu\cdot \text{sin}(\varphi)$

$\frac{p_y}{p_x}\Rightarrow \frac{0,05}{0,0524}=\text{tan}(\varphi)\Rightarrow \varphi= 43,6^\circ$

$\varphi$ in $p_y$: $\Rightarrow 0=\frac{6,63\cdot 10^{-34}\,\text{Js}}{0,0524\,\text{nm}}-\gamma_um_eu\cdot \text{sin}(43,6^\circ)$

$\Rightarrow p_e' =\gamma_u m_e u=1,83\cdot 10^{-23}\,\text{kg}\frac{\text{m}}{\text{s}}\Rightarrow u= 2\cdot 10^7\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

man sieht relativistische Formel war notwendig!

3.4.2 Inelastischer Stoß: Induzierte Kernspaltung

Helium spaltet in Deuterium durch Beschuss mit Photonen.

$m_\text{He}=4,00151\cdot\text{u}$

Atomare Masseneinheit: $\text{u}=\frac{1}{12}m_{\text{C}_{12}}=1,66\cdot 10^{-27}\,\text{kg}$

$m_\text{D}=2,01355\cdot \text{u}$

$2m_D>m_\textrm{He}$ wegen Bindungsenergie die bei der Kernfusion von 2 Deuterium in Helium freiwerden würde.

Diese Bindungsenergie muss durch die Energie des Photons aufgebracht werden.

Energieerhaltung:

$\frac{hc}{\lambda}+m_\text{He}\cdot c^2=2\gamma_{u}m_\text{D}c^2$ mit $\gamma_{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{(0.6 c)^2}{c^2}}}=1,25$

$\frac{hc}{\lambda}=c^2\cdot(2\cdot 1,25\cdot m_\text{D}-m_\text{He})=3\cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot (2\cdot 1,25\cdot 2,01355\cdot \text{u}-4,00151\cdot\text{u})=1,54\cdot 10^{-10}\,\text{J}=0,93\cdot 10^9\,\text{eV}$

$=0,93\text{GeV}\Rightarrow$ Gammastrahlung

$p_x: \frac{h}{\lambda}=2\cdot (\gamma_u\cdot m_\text{D}\cdot 0,6\cdot c)\cdot \text{cos}(\vartheta)\Rightarrow \vartheta = 70^\circ$