3 Quantennatur des elektromagnetischen Feldes

Im Folgenden werden Experimente betrachtet, welche nur mit der Quantennatur des Lichts erklärt werden können.

3.1 Schwarzkörperstrahlung (Hohlraumstrahler)

Def.: Schwarzkörper: Energieabstrahlung nur durch thermische Ladungsbewegung. keine Reflexion.

Ziel: Bestimmung der spektralen Energiedichte.

Energie im Frequenzintervall $f$ bis $f+$d$f$ $\Rightarrow$ dU=?

Abhängig von der Anzahl der Wellen im Frequenzbereich f bis f+df

Abhängig von mittler Energie $\bar{E}(f)=?$

$\Rightarrow$ d$U(f)=\bar{E}(f)$d$N(f)$

1) Boltzmann Verteilung

Energiewahrscheinlichkeitsverteilung von Systemen, welche unabhängig oszillieren

$P(E)\propto e^{-\frac{E}{k_B T}}$

$k_B$ Boltzmannkonstante $1,381\cdot 10^{-23}\,\frac{\text{J}}{\text{K}}$

T : Temperatur

klassisch: Energie kontinuierlich (Falsche Annahme!)

$\bar{E}(f)=\frac{\int_0^\infty E\cdot e^{-\frac{E}{k_B T}}\text{d}E}{\int_0^\infty e^{-\frac{E}{k_B T}}\text{d}E}=k_B T$

Planck:

(nicht klassische Herleitung): Annahme EM-Strahlung der Frequenz $f$ kann nur gequantelte Energien annehmen

$E=n\cdot h\cdot f$

$\bar{E}(f)=\frac{\sum_{n=0}^\infty n\cdot h\cdot f\cdot e^{-\frac{n\cdot h\cdot f}{k_B T}}}{\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n\cdot h\cdot f}{k_B T}}}$

mit $x=e^{-\frac{ h\cdot f}{k_B T}}$ergibt sich:

$\bar{E}(f)= h\cdot f\frac{\sum_{n=0}^\infty n\cdot x^n}{\sum_{n=0}^\infty x^n}$

$\bar{E}(f)=h\cdot f\cdot \frac{\frac{x}{(1-x)^2}}{\frac{1}{1-x}}=\frac{h\cdot f\cdot x}{1-x}\cdot \frac{\frac{1}{x} }{\frac{1}{x}}=\frac{h\cdot f}{x^{-1}-1}=\frac{h\cdot f}{e^\frac{h\cdot f}{k_B\cdot T}-1}$

Zustandsdichte

Wellengleichung (klassisch): $\frac{\partial^2}{\partial ^2 t} W(x,t)=v^2\frac{\partial^2 }{\partial x^2}W(x,t)$

Lösung: $W(x,t)=A\cdot\text{sin}\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cdot \text{cos}(2\pi f t)$

bei Licht: $v=c$

Einsetzen: $-(2\pi f)^2\cdot \bcancel{W(x,t)}=-v^2\cdot\left(\frac{n}{2L}\right)^2\bcancel{ W(x,t)}$

$\Leftrightarrow (2\pi f)^2 = c^2 \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \Rightarrow f=c\cdot\frac{n}{2L}, \text{d}f=c\cdot \frac{\text{d}n}{2L}$

$\frac{\text{d}n(f)}{\text{d}f}=\frac{2L}{c}$

in 1D: $n=N \Rightarrow \frac{\text{d}N(f)}{\text{d}f}=\frac{2L}{c}$

3 dimensionale Wellengleichung : $\frac{\partial^2}{\partial ^2 t} W(x,t)=c^2\nabla^2 W(x,t)$

Lösung: $W(x,y,z,t)=A\cdot\text{sin}\left(\frac{n_x\pi x}{L}\right)\cdot\text{sin}\left(\frac{n_y\pi y}{L}\right)\cdot\text{sin}\left(\frac{n_z\pi z}{L}\right)\cdot \text{cos}(2\pi f t)$

Einsetzen: $-(2\pi f)^2\cdot \bcancel{W(x,t)}=-v^2\cdot \left[ \left(\frac{n_x}{2L}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{2L}\right)^2 + \left(\frac{n_z}{2L}\right)^2\right]\bcancel{ W(x,t)}$

$\Rightarrow f=\frac{c}{2L}\cdot \underbrace{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}_{n\neq N}=\frac{c}{2 L}\cdot n \rightarrow n=\frac{2 L f}{c}$

Anzahl der Zustände in 3D:

d$N=\frac{1}{8}\cdot 4\pi n^2\cdot dn \cdot\underbrace{ 2}_{pol.}$

$\frac{\text{d}N}{\text{d}f}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \pi n^2\text{d}n}{\frac{c}{2L}\text{d}n}=\frac{2\pi n^2 L}{c}$

$\text{d}N=2\pi n^2 \frac{L}{c}df=8\pi L^3\frac{f^2}{c^3}\text{d}f=\frac{8\pi V f^2}{c^3}\text{d}f$

$\Rightarrow$ Ziel: Spektrale Energiedichte

klassisch: $\text{d}U(f)=\bar{E_{kl.}}(f)\cdot \text{d}N(f)=k_b T\cdot \frac{8\pi V}{c^3}f^2\text{d}f$

UV-Katastrophe: unendlich viel Energie$\large\unicode{x21af}$

korrekt: Planck'sche spektrale Energiedichte: $\text{d}U(f)=\frac{hf}{e^\frac{h\cdot f}{k_B\cdot T}-1}\frac{8 \pi V}{c^3}f^2 df$

Planck'sches Wirkungsquantum $h = 6,626\cdot 10^{-34}\,\text{Js}$

Nobelpreis 1918