Vorlesung_26_20171130

https://adventure.quantumtechnology.info/potstep.htm

sigma=30

Zeilen 70:


if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.0;
if(x>515) pot[i]=0;

auch FT, phasengradient nennen.


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.08;
if(x>515) pot[i]=0.08;

teilchen wird langsamer, und reflektion

jetzt höher


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.08*2.5;
if(x>515) pot[i]=0.08*2.5;

Erklären dass wegen Impulsbreite teilchen weiterleauft

sigma=20; dann wirds noch schlimmer

sigma wieder 30.

Jetzt hoch genug:


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.08*3;
if(x>515) pot[i]=0.08*3;

negativer sprung:


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0.08;//Epot;
else pot[i]=0.0;
if(x>515) pot[i]=0;

Tunneleffekt:


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.08*2.5;
if(x>515) pot[i]=0;

höher auf 3


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.08*3;
if(x>515) pot[i]=0;

sehr emfindlich auf dicke exponentiell


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.08*2.8;
if(x>530) pot[i]=0;

50/50 Strahteiler für Materiewellen


xxxxxxxxxx
if(x<500) pot[i]=0;//Epot;
else pot[i]=0.08*2.8
if(x>502) pot[i]=0;

Anwendung verhinderte Totalreflektion Folie:

Rastertunnelmikroskop folie

6 Ungebundene Zustände

Keine Kraft (außer an Grenzflächen)

Keine stehende Wellen

Energie ist nicht quantisiert.

6.1 Potentialstufe

analog zu Lichtwelle auf Glashalbebene

Ebene Welle nach rechts

\psi(x)=Ae^{+ikx-i\omega t}

$A A^*$ beschreibt Anzahl der Teilchen pro Längeneinheit

Ebene Welle nach links

\psi(x) = A e^{-ikx-i\omega t}

Im folgenden stationäre Zustände

$\Rightarrow e^{-i\omega t}$ ist gleicher Vorfaktor für alle Wellen.

d.h Ebene Welle nach rechts:

\psi(x)=Ae^{+ikx}

nach links:

\psi(x)=Ae^{-ikx}

Zeitunabhängige Schrödingergleichung für U=0

\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}= -\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=-k^2\psi(x) \text{, mit }k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}

Lösungen:

\sin(kx)\text{, }\cos(kx)\text{, }e^{+ikx} \text{, }e^{-ikx} \\ i\sin(kx)=\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2}\text{, }\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}

hier getrennte Betrachtung von rechts und links laufende Welle:

e^{+ikx} \text{, }e^{-ikx}

$E>U_0$ :

Experimentale Realisierung:

$x=0$

\Rightarrow F=-\frac{\text{d}U}{\text{d}x}\text{, mit }U(x)=\begin{cases}0, x<0\\U_0,x>0 \end{cases}\\ \Delta x << \lambda_\text{de Broglie}

$x=0$ $E_\text{kin}'<E_\text{kin}$ , aber keine Reflexion

$A\cdot e^{+ikx}$ $Be^{-ikx}$ , da sonst Stetigkeit der Wellenfunktion und Stetigkeit der Ableitung nicht gewährleistet ist.

$x>0\ : U=U_0\Rightarrow$ Schrödingergleichung:

\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}=\underbrace{ -\frac{2m(E-U_0)}{\hbar}}_{<0}\psi(x)=-k'^2\psi(x)\text{, mit } k'=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}

$x>0$ keine weitere Potentialänderung

$\Rightarrow e^{-ikx}$ unphysikalisch

\psi(x)_{x<0}=\underbrace{Ae^{+ikx}}_\text{einlaufend}+ \underbrace{Be^{-ikx}}_\text{reflektiert}\\ \psi_{x>0}(x)=\underbrace{Ce^{+ik'x}}_\text{transmittiert}

Anzahl der einfallenden Teilchen pro Längeneinheit

\left|\psi_\text{ein} \right|^2=\left(A^*e^{-ikx} \right)\left(Ae^{+ikx} \right)=A^*A=\left|A\right|^2

Anzahl der reflektierten Teilchen pro Längeneinheit

\left|\psi_\text{refl}\right|^2=\left|B\right|^2

Anzahl der transmittierten Teilchen pro Längeneinheit

\left|\psi_\text{trans}\right|^2=\left|C\right|^2

Ohne Möglichkeit der Reflexion wäre Stetigkeit der Wellenfunktion und Stetigkeit der ersten Ableitung der Wellenfunktion nicht erfüllt:

\psi_{x<0}(0)=\psi_{x>0}(0)\Rightarrow Ae^{+ik0}+Be^{-ik0}= Ce^{+ik'0}\Rightarrow A+B=C

Stetigkeit der Ableitung:

\left.\frac{\text{d}\psi_{x<0}(x)}{\text{d}x}\right|_{x=0}=\left.\frac{\text{d}\psi_{x>0}(x)}{\text{d}x}\right|_{x=0}\\ \Rightarrow ikAe^{+ik0}-ikBe^{-ik0}=ik' Ce^{+ik'0}\\ \Rightarrow k(A-B)=k'C

Reflexion und Transmissionswahrscheinlichkeit ist abhängig von Geschwindigkeit des Teilchens:

\frac{\text{Anzahl}}{\text{Zeit}}=\frac{\text{Anzahl}}{\text{Längeneinheit}}\frac{\text{Längeneinheit}}{\text{Zeit}}\\ \frac{\text{Anzahl}}{\text{Zeit}}\propto \left|\psi\right|^2\cdot v\text{, mit }v=\frac{\hat{p}}{m}=\frac{\hbar k}{m}\propto k\\ \frac{\text{Anzahl}}{\text{Zeit}}\propto\left|\psi\right|^2\cdot k

Transmissionswahrscheinlichkeit:

T=\frac{\left|\psi_\text{trans}\right|^2\cdot k'}{\left|\psi_\text{ein}\right|^2\cdot k}=\frac{\left|C\right|^2\cdot k'}{\left|A\right|^2\cdot k}

Reflexionswahrscheinlichkeit:

R=\frac{\left|\psi_\text{refl}\right|^2\cdot k}{\left|\psi_\text{ein}\right|^2\cdot k}=\frac{\left|B\right|^2}{\left|A\right|^2}

$B,C$ $\Rightarrow B(A)=?,\ C(A)=?$

A+B=C\Rightarrow B=C-A\text{, in } k(A-B)=k'C\Rightarrow C=\frac{2k}{k+k'}A\\ B=C-A\Rightarrow B=\frac{k-k'}{k+k'}A\\ \Rightarrow\boxed{ T=\frac{4kk'}{(k+k')^2}\text{ und }R= \frac{(k-k')^2}{(k+k')^2} }\\ T+R=\frac{4kk'+k^2-2kk'+k'^2}{(k+k')^2}=\frac{(k+k')^2}{(k+k')^2}=1\ \surd\\ \text{mit } k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\text{, }k'=\frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}\\\Rightarrow T=\frac{4\cdot\sqrt{E(E-U_0)}}{\left(\sqrt{E}+\sqrt{E-U_0}\right)^2}\text{ und }R=\frac{\left(\sqrt{E}-\sqrt{E-U_0}\right)^2}{\left(\sqrt{E}+\sqrt{E-U_0}\right)^2}

$\sqrt{E}\rightarrow c$ $\sqrt{E-U_0}\rightarrow \frac{c}{n}$

Beispiel: $e^-$ an Potentialstufe

E_\text{kin}=5\,\text{eV},\ \text{Stufe } U_0=2\,\text{eV}

Reflexionswahrscheinlichkeit

R=\frac{\left(\sqrt{5\,\text{eV}}-\sqrt{5\,\text{eV}-2\,\text{eV}}\right)^2}{\left(\sqrt{5\,\text{eV}}+\sqrt{5\,\text{eV}-2\,\text{eV}}\right)^2}=0,016=1,6\%

b) Massive Kugel

E_\text{kin}=50\,\text{J},\ \text{Stufe } U_0=20\,\text{J}

$\Rightarrow R=0,016 ?$

$\Delta x << \lambda_\text{de Broglie}$ $\lambda_\text{de Broglie}$ in Bereich von Kernabständen liegt