Vorlesung_25_20171130

Visscher-Methode zur nummerischen Lösung der zeiabhängigen Schrödingergleichung

P. B. Visscher Computers in Physics 5, 596 (1991)

\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar} \hat{\mathcal{H}}

$\Delta t$

\mathcal{O}(\Delta t)= {\mathbb{1}}+\frac{\partial }{\partial t}\cdot \Delta t={\mathbb{1}}-\frac{i}{\hbar} \hat{\mathcal{H}}\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1 +\frac{x}{n}\right)^n=e^x

Nebenbemerkung: Für endliche Zeiten ist Zeitentwicklung

\hat{U}(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{\mathcal{H}}(t-t_0)}

Schrödingergleichung:

\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}= -i\hat{\mathcal{H}}\Psi(x,t)\\ \hat{\mathcal{H}}=-\hbar^2\frac{\nabla^2}{2m} +V(x)\ \ \ \ \ \ \ \text{ Einheit: }2m=1,\hbar=1

$\nabla^2$ $\frac{\partial ^2}{\partial x^2}$

$\nabla^2$ $\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}$

$\nabla^2$ $\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}$

Diskret: 2D

\nabla^2 \Psi=\frac{\Psi _{x+1,y}-2\Psi_{x,y}+\Psi_{x-1,y}}{\Delta x^2}+\frac{\Psi _{x,y+1}-2\Psi_{x,y}+\Psi_{x,y-1}}{\Delta y^2}

$\Psi(t+\Delta t)=\Psi(t)+\Delta t \frac{\partial \Psi}{\partial t}$

ist nicht stabil.

Aufteilen der Schrödingergleichung in Imaginär- und Realanteil

\Psi=\mathcal{R}+i\mathcal{I}\\ \frac{\text{d}\mathcal{R}(t)}{\text{d}t}=\hat{\mathcal{H}}\mathcal{I},\ \ \ \frac{\text{d}\mathcal{I}(t)}{\text{d}t}=-\hat{\mathcal{H}}\mathcal{R}

Trick: $\mathcal{R}$ $0,\Delta t, 2\Delta t, 3\Delta t,...$

$\mathcal{I}$ $\frac{1}{2}\Delta t,\frac{3}{2}\Delta t,\frac{5}{2}\Delta t,...$

Erster Schritt:

\mathcal{I}\left(\frac{\Delta t}{2} \right)=\mathcal{I}(0)-\frac{\Delta t}{2}\hat{\mathcal{H}}\mathcal{R}(0)

Propagation:

\mathcal{I}\left(t+\frac{\Delta t}{2} \right)= \mathcal{I}\left(t-\frac{\Delta t}{2} \right)-\Delta t \hat{\mathcal{H}}\mathcal{R}(t)\\ \mathcal{R}(t+\Delta t)= \mathcal{R}(t)+\Delta t \hat{\mathcal{H}}\mathcal{I}\left(t+\frac{\Delta t}{2} \right)\\ \text{für } t=n\Delta t: P(x,t)=\mathcal{R}(x,t)^2 + \mathcal{I}\left(x,t+\frac{\Delta t}{2} \right)\mathcal{I}\left(x,t-\frac{\Delta t}{2} \right)\\ \text{für } t=\left(n+\frac{1}{2}\right)\Delta t:P(x,t)= \mathcal{R}\left(x,t+\frac{\Delta t}{2} \right)\mathcal{R}\left(x,t-\frac{\Delta t}{2} \right)+\mathcal{I}(x,t)^2

Stabilitätsbedingung:

\boxed{\Delta t\leq \frac{\hbar}{\frac{\hbar^2}{m\Delta x^2}+max(U(x))}}

5.11 Eigenwerte

$\hat{\mathscr{O}}$ $\Delta \mathscr{O}=0$

Beispiel: $\psi(x)=e^{i k x}$

\hat{p}\psi(x)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} e^{i k x}=\hbar k e^{i k x}= \underbrace{p}_\text{Zahl Eigenwert}e^{i k x}

Energie:

\Psi(x,t)= \psi(x)e^{-i\omega t}\\ \hat{E}\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(x) e^{-i\omega t}=\underbrace{\hbar \omega}_\text{Zahl} \psi(x)e^{-i\omega t}

Ort:

\psi(x)=\delta(x-x_0)\\ \hat{x}\psi(x)= x_0\psi(x)

$f(x)$

\underbrace{\hat{\mathscr{O}}}_\text{Operator}f(x)= \underbrace{\lambda}_\text{Eigenwert} f(x)

Behauptung: $\psi(x)$ $\hat{\mathscr{O}}$ $\Delta \mathscr{O}=0$ $\psi(x)\Leftrightarrow \hat{\mathscr{O}}\psi(x)=\underbrace{\bar{\mathscr{O}}}_\text{Zahl}\psi(x)$

$\Psi$ $\hat{\mathscr{O}}$

Beweis: $\Leftarrow$ "

\hat{\mathscr{O}}\psi(x)=\bar{\mathscr{O}}\psi(x)\\ \overline{\mathscr{O}^2}=\int \psi^*(x)\hat{\mathscr{O}}^2\psi(x)\text{d}x=\int \psi^*(x)\hat{\mathscr{O}}(\hat{\mathscr{O}}\psi(x))\text{d}x= \int \psi^*(x)\hat{\mathscr{O}}(\bar{\mathscr{O}}\psi(x))\text{d}x=\bar{\mathscr{O}}\int \psi^*(x)\hat{\mathscr{O}}\psi(x)\text{d}x= \bar{\mathscr{O}}^2\\ \Rightarrow \Delta x = \sqrt{\,\overline{\mathscr{O}^2}-\bar{\mathscr{O}}^2} =0

Beispiel: a)

$\psi(x)=A\cdot e^{-\frac{x^2}{4\sigma^2}}$

Ist Impuls wohldefiniert?

\hat{p}\psi(x)= -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} Ae^{-\frac{x^2}{4\sigma^2}}=(-i\hbar) Ae^{-\frac{x^2}{4\sigma^2}}\left(-\frac{x}{2\sigma^2}\right)\neq c\cdot \psi(x)\Rightarrow \text{nicht wohldefiniert}

$\psi(x)=A\cdot \cos(k_0x)$

-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}A\cdot \cos(k_0x)=i\hbar k_0A\cdot \sin(k_0x)\\ \cos(k_0x)=\frac{1}{2}\left(e^{+ik_0x}+ e^{-ik_0x}\right)

nicht wohldef.

Entspricht stehender Welle/ Welle nach links und rechts gleichzeitig

$\psi(x)=A(\cos(k_0x)-i\sin(k_0x))$

-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}A(\cos(k_0x)-i\sin(k_0x))=-i\hbar Ak_0(-\sin(k_0x)-i\cos(k_0x))=-\hbar k_0 \psi(x)

$\Rightarrow$ Impuls wohldefiniert

$\psi(x)=A(\cos(k_0x)-\sin(k_0x))$

-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}A(\cos(k_0x)-\sin(k_0x))=i\hbar Ak_0(\sin(k_0x)+\cos(k_0x))\neq c\cdot \psi(x)

$\Rightarrow$ Impuls nicht wohldefiniert